Стійкість систем від консервативних сил, що стежать. Стійкість систем
від неконсервативних сил
Розглянемо особливості алгоритму розв’язання задач стійкості пружних
систем при дії консервативних стежачи сил. До таких задач може бути
застосований статичний метод, що спрощує методику їхнього розв’язання.
Приклад 4.7. Нехай у рамі (рис. 4.11) стержень 0-1 випробовує вплив
стежачої сили, з лінією дії, що проходить через фіксовану точку,
стержень 2-3 навантажений «мертвою» силою, а стрижень 1-2 буде
випробовувати вигин після втрати стійкості.
, де знак мінус, коли проекція зменшує стійкість системи (спрямована
убік зсуву рами), і знак плюс, коли вона спрямована в протилежну
сторону.
.
рами матиме вигляд, наведений далі.
. Фіксуючи зміну його знака, одержимо значення критичних сил. Перші 4
значення їх наступні:
а) стежача сила зменшує стійкість системи
в) стежача сила збільшує стійкість системи
с) кососиметрична втрата стійкості (дві сили F «мертві»)
матриці зі змінною топологією (елемент А).
1 -А13 -А14 -1/12 3
2 -А12 -А13 -1 7
3 А21 А12 -1 8
4 1 А -1 4
5 1 1 5
6 1 -1/2 -1/6 9
7 1 -1 -1/2 -1 13
8 1 1 -1 14
9 1 -1 16
10 1 1 -12 10
11 1 1 11
12 1 А12 -А13 -А14 12
13 А21 -А12 -А13 15
14 -1 -А31 А21 А12 1
15 -1 1 2
16 -1 1 6
Стійкість систем від неконсервативних сил
представлено рівнянням (4.12).
Класичним прикладом є консольний стержень із рівномірно розподіленою
масою т і стежачою силою на кінці (рис. 4.7, а) – задача М.Бека ?236?.
Частотне рівняння МГЕ цієї задачі матиме вигляд
, що пізніше підтверджена експериментально ?193?. Якщо розглянути за
допомогою рівняння (4.44) зміну більшого числа частот власних коливань
консольного стержня, то виходить досить цікава картина.
для перших 6 частот показані на рис. 4.12.
й т.д., як це має місце при біфуркації з «мертвими» силами. Таке
поводження консольного стержня дозволяє рекомендувати метод боротьби із
флатером. Флатер припиниться, якщо перевести стержень у другу
(криволінійну) форму рівноваги.
, будуть критичними.
Представимо розв’язання більш складних неконсервативних задач стійкості
різних пружних систем.
Приклад Визначити критичні сили консольного стержня з кусочно-постійною
жорсткістю, навантаженого стежачою силою (рис. 4.13).
Дана схема може служити моделлю бурової вишки, коли відбулася аварія, і
потік рідини або газу вирвався з-під контролю.
, тобто неконсервативні критичні сили приблизно в 6 разів більші за
ейлерові критичні сили.
Рис. 4.13
1 -А13 -А14 -2 5
2 -А23 -А13 -2 6
3 А33 А23 -1 3
4 А43 А33 -1 4
5 А11 А12 -А13 -А14 -2 9
6 А21 А11 -А23 -А13 -2 10
7 -А31 -А21 А33 А23 -1 7
8 -А41 -А31 А43 А33 -1 8
9 -1 А11 А12 -А13 -А14 1
10 -1 А21 А11 -А23 -А13 2
11 -А31 -А21 А33 А23 11
12 -А41 -А31 А43 А33 12
Приклад Визначити неконсервативні критичні сили нерозрізного стержня
(рис. 4.14) при дії стежачої сили F.
умов.
<>@BDVXZT
V
h
j
?F§
?F§
?F§
?F§
?F§
?F§
?F§
j
?F§
?F§
?F§
?F§
?F§
?F§
?F§
?F§
?F§
V
?FJ
?FJ
?FJ
?FJ
?FJ
?FJ
?FJ
?FJ
?FJ
?FJ
?FJ
?FJ
jae
.
Рис. 4.15
Дане дослідження поводження системи показує, що дія неконсервативних
стежачих сил приводить до взаємного накладення спектрів ейлерових і
неконсервативних критичних сил, тобто поводження пружної системи істотно
складніше випадків, коли діють консервативні сили. Більше того, дія
неконсервативних сил може приводити до втрати стійкості при значно
менших критичних силах, рівних або менших ейлеровим критичним силам.
.
Приклад 4.10. Дослідити поводження частот власних коливань вільної рами
(рис. 4.16), навантаженої стежачою силою у вузлі 1.
Рис. 4.16
1. Розбиваємо раму на 4 стержні, нумеруємо вузли і вказуємо стрілками
початок і кінець кожного стержня.
матриці зміниться.
, так що аргументи фундаментальних функцій запишуться так
стержень 1-3
;
стежні 0-1, 2-1, 4-2
.
Рис. 4.17
, що практично збігається з аналогічним відношенням для рами. Це
свідчить як про вірогідність результатів МГЕ, так і про точність
визначення еквівалентних мас по формулі (3.21).
), тобто в пружній системі існують умови раптового виникнення флатера.
На закінчення даного параграфа представимо розв’язання неконсервативних
задач М.Бека й В.І.Реута для консольного стержня на пружній основі.
Застосовуючи граничні умови (4.18), (4.19) до рівняння (4.24), одержимо
частотні рівняння задачі М.Бека
Пошук критичних сил приводить до наступних результатів:
граничні умови (4.18)
граничні умови (4.19)
Граничні умови задачі В.І.Реута для стержня на пружній основі
приводять до наступного рівняння для критичних сил
.
Критична сила задачі В.І.Реута
.
У цих результатах незначний вплив пружної основи пояснюється малим
значенням коефіцієнта t при одиничних вихідних даних.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
