Стійкість плоскої форми згину тонкостінних стержневих систем.
Інтегрування рівнянь стійкості
Введення. Проблема стійкості плоскої форми вигину тонкостінних стержнів
уперше була освітлена в роботах С.П. Тимошенко ще в 1905-06 р.р. В.З.
Власов розробив загальну теорію просторової стійкості тонкостінних
стержнів, з якої, як окремий випадок, випливали рівняння С.П. Тимошенко
[66] гнучко-крутильної стійкості двотаврової балки. З цих пір істотного
прогресу в розв’язанні задач стійкості плоскої форми вигину тонкостінних
стержнів відкритого профілю не відбулося, і основні результати належать
С.П. Тимошенко. Зв’язано це з труднощами інтегрування рівнянь стійкості,
які містять змінні коефіцієнти. Із цієї причини відомі розв’язки тільки
для випадків, коли поперечне навантаження викликає лише один закон зміни
згинального моменту по довжині стержня. Під цю умову підводять і задачі
стійкості при симетричної епюрі згинального моменту. Таким чином,
проблема розв’язання задач стійкості плоскої форми вигину тонкостінних
стержневих систем має потребу в подальшому розвитку. Тут пропонується
нова методика розв’язання найбільш складних у теорії стійкості задач,
коли знімаються обмеження на крайові умови, можна врахувати різне
поперечне навантаження й будь-яку структуру стержневих систем, включаючи
рами й нерозрізні балки. Для цього необхідно залучити розв’язання
системи диференціальних рівнянь стійкості й алгоритм
числено-аналітичного варіанту методу граничних елементів (МГЕ) [18,357].
1. Інтегрування рівнянь стійкості. Розглянемо найбільш простий варіант
цих рівнянь, коли відкритий тонкостінний профіль має дві осі симетрії,
поперечне навантаження діє в площині симетрії й згинальний момент
постійний по довжині стержня. Рівняння стійкості для стержня постійного
перерізу з лівогвинтової системою координат (рис.4.25) приймають вигляд
[66]
Рис. 4.25
;
;
;
– жорсткість при крутінні;
, викликаний заданим отриманим навантаженням. Система рівнянь (4.58)
вирішена тільки для окремих випадків граничних рівнянь і поперечного
навантаження [262]. Представимо розв’язок системи (4.58) для двох
випадків:
. Такі ділянки стержня можуть зустрічатися. Приклади представлені нижче.
. У реальних конструкціях це окремий випадок.
й стиснутому крутінні
(4.59)
У рамках алгоритму МГЕ розв’язок системи (4.59) представимо в матричній
формі. У цьому випадку це комбінація фундаментальних розв’язків вигину й
крутіння
де фундаментальні ортонормовані функції крутіння мають вигляд [66]
(4.61)
У другому випадку (4.58) буде зв’язаною системою двох рівнянь, які з
початковими параметрами (див. (4.60)) утворять задачу Коші стійкості
плоскої форми вигину. Повний її розв’язок, що відповідає різним
граничним умовам тонкостінного стержня, виходить після ряду операцій.
З першого рівняння системи (4.58) випливає залежність між кутом
закручування й другою похідною прогину
(4.62)
де константи інтегрування визначаються з початкових умов
(4.63)
За допомогою залежності (4.62) система (4.58) зводиться до одного
звичайного диференціального рівняння
(4.64)
Коренями характеристичного рівняння для (4.64) будуть два кратних
дійсних значення, рівних нулю, два дійсних рівних і два мнимих
(4.65)
де
Відповідно до цього, загальний розв’язок рівняння (4.64) запишеться у
вигляді
1
2
3
4
5
6
=
1
1
1
1
2
1
3
4
5
6
(4.67)
де останні два рівняння формують за допомогою залежності (4.62).
Розв’язок системи (4.67) приводять до наступних виразів
(4.68)
Якщо підставити константи (4.68) у рівняння (4.66) і пронормовані
фундаментальні функції, то виходить остаточний вираз для прогину.
Диференціюванням прогину визначаються інші параметри гнучко-крутильної
форми втрати стійкості. У матричному поданні розв’язок системи (4.58)
можна записати в такий спосіб
=
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
2
1
3
4
5
1
6
1
7
8
(4.69)
де фундаментальні ортонормовані функції спільного вигину й крутіння
тонкостінного стержня матимуть вигляд
(4.70)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
