Стійкість і динаміка прямокутних пластин (реферат)

Стійкість і динаміка прямокутних пластин

Різні задачі стійкості й динаміки тонких ізотропних прямокутних пластин постійної товщини в рамках гіпотези Кірхгофа-Лява зводяться до розв’язання диференціального рівняння [262]

де  – амплітудне значення прогину;  – густина матеріалу;  – частота власних коливань;  – зусилля в серединній площині пластини (рис. 6.7);  – амплітудне значення поперечного навантаження. Розроблено безліч методів розв’язання рівняння (6.53), результати

яких приводяться в довідкових даних робіт [47, 71, 262, 317] і ін. Проф. В.З. Власов, крім статики пластин, висунув ідею про застосовність свого методу для розв’язання задач стійкості, однак ця ідея не була реалізована повною мірою [63].

Рівняння (6.53) по алгоритму варіаційного методу Канторовича-Власова приводиться до виду

с початковими умовами

Коефіцієнти й права частина рівняння (6.54) стануть виразами

З виразів (6.56) випливає, що  може бути будь-якою функцією від х, а ;  – тільки кусочно-постійними функціями від y (рис. 6.8), у противному випадку виходить диференціальне рівняння (6.54) зі змінними коефіцієнтами.

Розв’язок задачі Коші (6.54), (6.55) може бути представлене в матричній формі (6.49). Вид фундаментальних функцій залежить від коренів характеристичного рівняння для (6.54)

Корені цього рівняння в загальному випадку можуть бути визначені чисельно. При  рівняння (6.57) спрощується й корені обчислюються по формулах (6.19). Розглянемо 4 основних випадки фундаментальних функцій.

1. Корені (6.19) комплексні

Фундаментальні функції представляються виразами

2. Корені (6.19) дійсні й мнимі

3. Корені (6.19) мнимі

4. Корені (6.19) дійсні й різні

Відповідно до глав 3 і 4 визначення частот власних коливань і критичних сил пружної системи виконується після формування матриці . На відміну від інших методів (див. [47, 262]) тут передбачається, що граничні статичні й кінематичні параметри пластини будуть відмінні від нуля (при біфуркації або при стоячих хвилях), якщо відмінні від нуля узагальнені статичні й кінематичні параметри одномірної моделі. Тоді трансцендентне рівняння власних значень пластинчастої системи прийме вид

Матриця  цього рівняння володіє багатьма чудовими властивостями. Вона є досить розрідженою матрицею загального виду, її система фундаментальних ортонормованих функцій забезпечує гарну стійкість чисельного процесу розв’язання крайової задачі, у визначнику відсутні точки розриву 2-го роду, формується без залучення матричних операцій. Ці переваги дозволяють ефективно визначати спектр власних значень – корені рівняння (6.62). Точність спектра залежить, природно, від точності вихідної моделі, де, нагадаємо, використовується тільки один член ряду (6.2). Рівняння (6.62) дозволяє визначати критичні сили як статичним (при ), так і динамічним методами. При визначенні власних значень пластин потрібно враховувати, що з рівняння (6.62) можна одержати спектри частот і критичних сил при фіксованому числі напівхвиль у напрямку осі ОХ (наприклад, для коефіцієнтів А, В, С табл. 6.1 одна напівхвиля в напрямку осі ОХ і безліч напівхвиль у напрямку осі ОY). Обчислюючи коефіцієнти А, В, С при другій частоті коливань балки, з рівняння (6.62) можна одержати спектри пластини для двох напівхвиль у поперечному й безлічі напівхвиль у поздовжньому напрямках і т.д. Точність розв’язку задач стійкості й динаміки прямокутних пластин по МГЕ визначимо із прикладів.

Приклад Розглянемо жорстко затиснену квадратну пластину, навантажену силами  (рис. 6.7,в). Вище відзначалося, що найбільша погрішність варіаційного методу Канторовича-Власова спостерігається у квадратних пластин, а умови її обпирання не дозволяють одержати точного аналітичного розв’язку задач статики, динаміки й стійкості. Тому дана задача дозволяє дати оцінку точності й ефективності різних методів, у тому числі й МГЕ. Матриця стійкості і її визначник для крайових умов по рис. 6.7,в приймуть вид

Задачу розв’язуємо статичним методом по програмі в середовищі MATLAB

Позначення змінних

– число циклів обчислення визначника (6.63);

Х – вектор значень стискаючих сил  або ;

A, r2, s4 – коефіцієнти одномірної моделі (6.56);

,  – стискаючі зусилля;

,  – крок зміни стискаючих зусиль;

d – величина визначника (6.63);

al, bl– коефіцієнти , ;

F1, F3, F4, A13, A14, A23 – фундаментальні функції.

Текст програми

_end

% Побудова графіка визначника

% Виведення таблиці значень визначника

Попередньо будуємо графік зміни визначника  (див. рис. 6.9), що дозволяє візуально й неточно визначити корені рівняння (6.63). Зокрема, нехай  входить у коефіцієнт s. Уточнюючи

корені рівняння (6.63) знаходимо, що перша критична сила дорівнює  (одна напівхвиля у двох напрямках), що більше на 6,27% критичної сили по методу Рітца  [101]. Якщо  входить у коефіцієнт r. Графік визначника (6.63) повторює характер залежності на рис 6.9 і , що більше на 0,657% еталонного значення. Коли  й  одночасного відмінні від нуля (параметр N входить у коефіцієнти r і s), критична сила  відрізняється від точного значення  [47] на 0,89%. Для порівняння приведемо значення критичної сили при  по модифікованому асимптотичному методу проф. В.В. Болотина  [101]. Старші критичні сили по рівнянню (6.62) будуть визначені з великою погрішністю й тут потрібно використовувати розв’язок відповідного нелінійного рівняння. Висока точність результатів методу Канторовича-Власова при втриманні одного члена ряду (6.2) пояснюються тим, що в цьому методі задовольняються в повному обсязі крайові умови по всьому периметрі пластини, включаючи й кутові зони.

Відзначимо, що незважаючи на невеликий обсяг наведена програма розв’язання задач стійкості пластини по МГЕ має певну універсальність. Якщо додати фундаментальні функції (6.58) – (6.61) і міняти вирази для визначника  то крім будь-яких розмірів і коефіцієнта Пуассона  програма буде враховувати й різні класичні (не змішані) граничні умови.

Приклад 6.4 Розглянемо більш складну задачу стійкості. Визначити критичну силу такої ж пластини, але навантаженої на частині контуру (рис 6.7,с). Зусилля  можна продовжити на всю довжину кромки за допомогою виразу , де  – одинична функція Хевісайда зі зрушенням. При включенні  в коефіцієнт s критична сила виходить зі значним перевищенням . При включенні  в коефіцієнт r (шляхом повороту систем координат) критична сила виходить істотно меншою . Середнє значення двох варіантів . При розв’язанні даної задачі передбачалося, що вся область пластини випробовує поздовжньо-поперечний вигин. Це досить грубе допущення й критична сила вийшла істотно меншою дійсного значення. Задачу можна розв’язати в більш точній постановці, тобто вважати, що підобласть 0-1 випробовує поздовжньо-поперечний, а підобласть 1-2 – поперечний вигин у момент втрати стійкості. Якщо зневажити перекручуванням зазначених напружених станів у граничній зоні підобластей, то матриця стійкості  прийме вид

Методом Гауса обчислюючи визначник і фіксуючи зміну його знака, одержуємо, що . Якщо припустити, що зменшення периметра стискаючого навантаження в 2 рази збільшує критичну силу в 1,9 рази (див. приклад 6.3), то отриманий результат усього на 5,4% менший умовного точного значення критичної сили.

При визначенні частот власних коливань жорстко затисненої квадратної пластини необхідно використовувати рівняння (6.63) при . Безрозмірні величини частот наведені в табл. 6.6, з якої видно гарну відповідність результатів МГЕ з результатами Едмана й Ігуті [262].

Приклад 6.5 Зміна граничних умов видозмінює частотне рівняння. Для пластини по рис. 6.7,d, де одна кромка шарнірно обперта, матриця  й частотне рівняння приймуть вид

Корені рівняння (6.64) представлені в табл. 6.6, з якої видно практично повний збіг результатів МГЕ з результатами методу R-функцій проф. В.Л. Рвачева [268].

Аналіз результатів прикладів 6.3-6.5 приводить до двох важливих висновків:

1. Варіаційний метод Канторовича-Власова при використанні одного члена ряду (6.2) дозволяє практично точно розв’язувати задачі на власні значення пружних ізотропних пластин.
2. Основна частина погрішності варіаційного методу Канторовича-Власова при використанні одного члена ряду (6.2) пов’язана з неточним описом зовнішнього навантаження, а вплив на погрішність побічних коефіцієнтів лінійної системи диференціальних рівнянь проф. В.З. Власова досить малий.

Останній висновок випливає з першого, оскільки в задачах на власні значення не враховуються саме побічні коефіцієнти.

Приклад Можливості МГЕ проілюструємо розв’язанням неконсервативної задачі стійкості квадратної пластини, навантаженої стежачим за рогом повороту навантаженням (рис. 6.10). Рівняння 6.62 буде включати  й . Граничні умови в напрямку осі ОХ будуть виконуватися

функцією  (див. табл. 3.2). Кінематичні граничні умови будуть задовольнятися, а статичні граничні умови – тільки у жорсткому закладенні. Матриця  й частотне рівняння для граничних умов у напрямку осі ОY приймуть вид

Корені рівняння (6.65) при  досить близькі до еталонних значень  частот даної пластини [262]. Це дозволяє досліджувати подальше поводження двох частот по рівнянню (6.65). Залежність між  і  представлена на рис. 6.10. Неконсервативність діючого навантаження підтверджується поводженням двох сусідніх частот, що прагнуть злитися в одній точці. При цьому критична сила істотно залежить від точності визначення координати злиття частот. Так,  при різниці двох частот ;  при ;  при ;  при  й т.д. Очевидно, для достовірного визначення критичної сили необхідне знання граничної різниці сусідніх частот, при якій наступає флатер пластини.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter