Стержень на пружній основі
В інженерній практиці зустрічаються випадки, коли пружна стержнева система контактує із пружною основою. Розрахунок такої системи повинен бути доповнений схемою стержня на пружній основі. Найбільш простою і широко застосовуваною розрахунковою схемою є модель Е.Вінклера – схема з одним коефіцієнтом постелі. Простота цієї моделі приводить до недостатньої точності одержуваних результатів. Тому пізніше були розроблені більш якісні й точні моделі. Тут відмітимо моделі на основі пружного півпростору [80, 291] (розв’язки виходять досить громіздкими, а сама методика зводиться до набору таблиць, що створює незручності при її застосуванні) і моделі із двома коефіцієнтами постелі (проф. П.Л.Пастернак, проф. В.З.Власов, проф. М.М. Філоненко-Бородіч [273]). Модель із двома коефіцієнтами постелі дозволяє побудувати аналітичний розв’язок задачі Коші, врахувати деформацію зрушення підстави, її неоднорідність і багато інших факторів. У цьому зв’язку одержимо рівняння типу (1.40) для моделі із двома коефіцієнтами постелі. Використовуючи принцип незалежності дії сил і доповнюючи рівняння динаміки стержня в амплітудному стані на пружній основі доданком від повздовжньої сили , будемо мати
| (4.14) |
Це рівняння має кінематичні й статичні параметри (67).
| ; ; ; , | (4.15) |
де – узагальнена поперечна сила. Наявність або рівність нулю початкових і кінцевих параметрів визначається із крайових умов:
а) шарнірне обпирання
| ; ; ; ; ; ; | (4.16) |
- b) жорстке защемлення
| ; ; ; ; ; ; | (4.17) |
с) вільне обпирання граничних точок (повинні бути враховані умови спільної роботи стержня й підстави, тобто )
| ; ; ; ; ; ;
|
(4.18) |
Якщо не враховувати спільну роботу стержня й підстави в граничних точках, то
| ; ; ; ; ; ;
; . |
(4.19) |
У рівнянні (4.14) і умовах (4.15)-(4.19) постійні величини визначаються формулами:
| ; ; ; ;
; , |
(4.20) |
де , – модуль пружності й коефіцієнт Пуассона підстави;
, – висота й ширина перерізу стержня;
– глибина (потужність) підстави;
– коефіцієнт, що характеризує швидкість затухання осад підстави (рекомендується [67]);
, – розподілені маси стержня й підстави;
– питома вага стержня й підстави;
– безрозмірна функція поперечного розподілу осади підстави, що може бути прийнята лінійною або експонентною.
| ; . | (4.21) |
Якщо позначити
; ,
то задача Коші моделі із двома коефіцієнтами постелі матиме вигляд
| ; ; ;
; |
(4.22) |
.
Характеристичне рівняння для диференціального рівняння (4.22) є біквадратним
корені якого
| ; . | (4.23) |
Розв’язок задачі Коші (4.22) можна записати в матричній формі по алгоритму п.1.3
| (4.24) |
Представимо основні випадки фундаментальних функцій і вантажних елементів, обумовлені видом коренів (4.23).
1 випадок. Корені (4.23) стануть комплексними
| ;
; ; ; |
(4.25) |
2 випадок. Корені (4.23) дійсні й мнимі
| ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; |
(4.26) |
3 випадок. Корені (4.23) дійсні й різні
| ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; |
(4.27) |
4 випадок. Корені (4.23) мнимі
| ; ;
;
;
; ; |
(4.28) |
Другорядні випадки фундаментальних функцій ( і т.п.) мають місце тільки для окремих точок інтервалів зміни , і можуть бути побудовані аналогічно. Рівняння (4.24) дозволяє вирішувати досить велике коло задач статики, динаміки й стійкості стержневих систем, пов’язаних із пружною основою. Високу точність результатів і ефективність алгоритму МГЕ проілюструємо на тестовому прикладі.
Приклад [291, с.437]. Побудувати епюри довгої залізобетонної рами із замкнутим контуром (рис. 4.8), що лежить на пружній основі при наступних даних: коефіцієнт Пуассона пружної основи ; коефіцієнт Пуассона матеріалу рами модулі пружності підстави й матеріалу рами ширина й висота стержнів рами значення коефіцієнта приймемо рівними ; ; ; жорсткість при вигині стержнів рами потужність підстави приймемо для випадку пружної напівплощини ; коефіцієнти ; при .
Рис. 4.8
При заданих значеннях вихідних даних одержуємо
;
.
Розв’язується задача статики, тому . Вийшов випадок ; тобто 1 випадок фундаментальних функцій (4.25). Раму можна розбити на 4 стержні, але, внаслідок симетрії навантаження й конструкції, розглянемо тільки ліву половину з 3-х стержнів. Стрілками позначаємо початок і кінець кожного елемента. Рівняння рівноваги, спільності переміщень вузлів 2, 3 і крайові умови представлені в матрицях , . Елементи вектора обчислюємо по формулах (4.25) при
Матричне рівняння МГЕ для рами представлено нижче. Переставляючи рядки матриць , у новому порядку для виключення нульових провідних елементів, вирішуємо цю систему методом Гауса (по програмі приклада 2.7).
| 1 | ; | 1 | ; | 1 | ||||
| 2 | 2 | 2 | ||||||
| 3 | 3 | 3 | ||||||
| 4 | =0; | 4 | 4 | |||||
| 5 | 5 | 5 | ||||||
| 6 | 6 | 6 | ||||||
| 7 | 7 | 7 | ||||||
| 8 | 8 | 8 | ||||||
| 9 | 9 | 9 | ||||||
| 10 | 10 | 10 | ||||||
| 11 | 11 | 11 | ||||||
| 12 | 12 | 12 | ||||||
| 13 | 13 | 13 | ||||||
| 14 | 14 | 14 | ||||||
| 15 | 15 | 15 |
У таблиці 4.1 представлені результати розрахунків для різних коефіцієнтів і при відсутності підстави. Дані таблиці свідчать про гарну відповідність результатів МГЕ (при ) і методу переміщень [291]. Епюри представлені на рис. 4.9.
Рис. 4.9
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | = | |||||
| 1 | 1 | -2,5 | 1 | |||||||||||||||||
| 2 | -2,2 | -1 | 3 | |||||||||||||||||
| 3 | 1 | -1 | 8 | |||||||||||||||||
| 4 | 1 | 10 | ||||||||||||||||||
| 5 | 1 | -1 | 5 | |||||||||||||||||
| 6 | 4 | -8 | -10,6 | 7 | ||||||||||||||||
| 7 | 1 | -4 | -8 | -1 | 12 | |||||||||||||||
| 8 | 1 | 4 | -1 | 9 | ||||||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 15 | |||||||||||||||||
| 10 | -1 | 1 | 2 | |||||||||||||||||
| 11 | -1 | 4 | ||||||||||||||||||
| 12 | 13 | |||||||||||||||||||
| 13 | -1 | 6 | ||||||||||||||||||
| 14 | -0,5 | 14 | ||||||||||||||||||
| 15 | -1 | 1 | 11 |
Таблиця 4.1
| Граничні параметри | Рама без пружної основи | Рама на пружній основі | Результати методу переміщень [291] | ||
| 0,172 | 0,074 | 0,089 | 0,104 | – | |
| 0,0 | 0,0 | 0,0 | 0,0 | – | |
| 0,068 | 0,029 | 0,035 | 0,041 | 0,038 | |
| 0,972 | 0,461 | 0,536 | 0,610 | – | |
| -0,108 | -0,047 | -0,056 | -0,066 | – | |
| 0,759 | 0,454 | 0,498 | 0,537 | 0,5 | |
| -0,153 | -0,066 | -0,079 | -0,093 | – | |
| 0,068 | 0,029 | 0,035 | 0,041 | 0,038 | |
| -0,108 | -0,047 | -0,056 | -0,066 | – | |
| 0,0 | 0,0 | 0,0 | 0,0 | – | |
| 0,108 | 0,047 | 0,056 | 0,066 | – | |
| 0,442 | 0,191 | 0,229 | 0,267 | 0,245 | |
| -0,366 | -0,158 | -0,189 | -0,221 | -0,203 | |
| 0,5 | 0,182 | 0,251 | 0,357 | 0,209 | |
| 0,108 | 0,047 | 0,056 | 0,066 | – | |
Виконаємо тестування рівняння (4.24) на задачах динаміки й стійкості стержнів. Трансцендентні рівняння будувалися по алгоритму МГЕ. Наприклад, для стержня з жорстко затисненими граничними перерізами схема (1.46) приводить до наступного рівняння для власних значень
Рівняння власних коливань для стержня, що має вільний кінець, формувалося з урахуванням граничних умов
Частоти власних коливань і критичні сили окремих стержнів представлені в табл. 4.2. Дані таблиці підтверджують думку про істотний вплив пружної основи на частоти власних коливань і критичні сили.
Таблиця 4.2
| Схема обпирання стержня на пружній основі | Рівняння для визначення власних коливань | Частоти власних коливань | Критичні сили втрати стійкості | ||
| при відсутності пружної основи | при наявності пружної основи | при відсутності пружної основи | при наявності пружної основи | ||
| 22,37
61,76 120,91 … |
15,855
43,645 85,525 … |
39,478 | 39,675 | ||
| 15,42
49,97 104,24 … |
10,955
35,375 73,756 … |
20,142 | 20,395 | ||
| 3,52
22,03 61,70 … |
2,6465
15,6575 43,685 … |
2,467 | 2,785 | ||
| 9,87
39,48 88,83 … |
7,0585
27,965 62,855 … |
9,87 | 10,095 | ||
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
