.

Стержень на пружній основі (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 777
Скачать документ

Стержень на пружній основі

В інженерній практиці зустрічаються випадки, коли пружна стержнева система контактує із пружною основою. Розрахунок такої системи повинен бути доповнений схемою стержня на пружній основі. Найбільш простою і широко застосовуваною розрахунковою схемою є модель Е.Вінклера – схема з одним коефіцієнтом постелі. Простота цієї моделі приводить до недостатньої точності одержуваних результатів. Тому пізніше були розроблені більш якісні й точні моделі. Тут відмітимо моделі на основі пружного півпростору [80, 291] (розв’язки виходять досить громіздкими, а сама методика зводиться до набору таблиць, що створює незручності при її застосуванні) і моделі із двома коефіцієнтами постелі (проф. П.Л.Пастернак, проф. В.З.Власов, проф. М.М. Філоненко-Бородіч [273]). Модель із двома коефіцієнтами постелі дозволяє побудувати аналітичний розв’язок задачі Коші, врахувати деформацію зрушення підстави, її неоднорідність і багато інших факторів. У цьому зв’язку одержимо рівняння типу (1.40) для моделі із двома коефіцієнтами постелі. Використовуючи принцип незалежності дії сил і доповнюючи рівняння динаміки стержня в амплітудному стані на пружній основі доданком від повздовжньої сили , будемо мати

(4.14)

Це рівняння має кінематичні й статичні параметри (67).

; ; ; ,(4.15)

де  – узагальнена поперечна сила. Наявність або рівність нулю початкових і кінцевих параметрів визначається із крайових умов:

а) шарнірне обпирання

; ; ; ; ; ;(4.16)

 

  1. b) жорстке защемлення
; ; ; ; ; ;(4.17)

с) вільне обпирання граничних точок (повинні бути враховані умови спільної роботи стержня й підстави, тобто   )

; ; ; ; ; ;

 

(4.18)

Якщо не враховувати спільну роботу стержня й підстави в граничних точках, то

; ; ; ; ; ;

; .

(4.19)

У рівнянні (4.14) і умовах (4.15)-(4.19) постійні величини визначаються формулами:

; ; ; ;

; ,

(4.20)

де ,  – модуль пружності й коефіцієнт Пуассона підстави;

,  – висота й ширина перерізу стержня;

– глибина (потужність) підстави;

 – коефіцієнт, що характеризує швидкість затухання осад підстави (рекомендується  [67]);

,  – розподілені маси стержня й підстави;

– питома вага стержня й підстави;

– безрозмірна функція поперечного розподілу осади підстави, що може бути прийнята лінійною або експонентною.

; .(4.21)

Якщо позначити

; ,

то задача Коші моделі із двома коефіцієнтами постелі матиме вигляд

; ; ;

;

(4.22)

.

Характеристичне рівняння для диференціального рівняння (4.22) є біквадратним

корені якого

; .(4.23)

Розв’язок задачі Коші (4.22) можна записати в матричній формі по алгоритму п.1.3

(4.24)

Представимо основні випадки фундаментальних функцій і вантажних елементів, обумовлені видом коренів (4.23).

1 випадок.  Корені (4.23) стануть комплексними

 

 

  ;

 

 

;

;

;

(4.25)

 

2 випадок.  Корені (4.23) дійсні й мнимі

 

; ;

; ; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

;

(4.26)

3 випадок.  Корені (4.23) дійсні й різні

 

; ;

; ; ;

; ;

;   ;

; ;

; ;

;

(4.27)

4 випадок.  Корені (4.23) мнимі

 

; ;

;

 

;

 

;

;

(4.28)

Другорядні випадки фундаментальних функцій ( і т.п.) мають місце тільки для окремих точок інтервалів зміни ,  і можуть бути побудовані аналогічно. Рівняння (4.24) дозволяє вирішувати досить велике коло задач статики, динаміки й стійкості стержневих систем, пов’язаних із пружною основою. Високу точність результатів і ефективність алгоритму МГЕ проілюструємо на тестовому прикладі.

Приклад [291, с.437]. Побудувати епюри  довгої залізобетонної рами із замкнутим контуром (рис. 4.8), що лежить на пружній основі при наступних даних: коефіцієнт Пуассона пружної основи ; коефіцієнт Пуассона матеріалу рами  модулі пружності підстави й матеріалу рами    ширина й висота стержнів рами    значення коефіцієнта  приймемо рівними ; ; ; жорсткість при вигині стержнів рами  потужність підстави приймемо для випадку пружної напівплощини ; коефіцієнти ;  при .

Рис. 4.8

При заданих значеннях вихідних даних одержуємо

;

.

Розв’язується задача статики, тому . Вийшов випадок ; тобто 1 випадок фундаментальних функцій (4.25). Раму можна розбити на 4 стержні, але, внаслідок симетрії навантаження й конструкції, розглянемо тільки ліву половину з 3-х стержнів. Стрілками позначаємо початок і кінець кожного елемента. Рівняння рівноваги, спільності переміщень вузлів 2, 3 і крайові умови представлені в матрицях , . Елементи вектора  обчислюємо по формулах (4.25) при

Матричне рівняння МГЕ для рами представлено нижче. Переставляючи рядки матриць ,  у новому порядку для виключення нульових провідних елементів, вирішуємо цю систему методом Гауса (по програмі приклада 2.7).

1;1;1 
2 22 
333 
4=0;44 
555 
6 66 
777 
888 
999 
101010 
11 1111 
121212 
131313 
141414
151515 

У таблиці 4.1 представлені результати розрахунків для різних коефіцієнтів  і при відсутності підстави. Дані таблиці свідчать про гарну відповідність результатів МГЕ (при ) і методу переміщень [291]. Епюри  представлені на рис. 4.9.

Рис. 4.9

 

 123456789101112131415  =  
11 -2,5             1
2  -2,2   -1         3
3  1    -1        8
4         1      10
5    1   -1       5
6      4-8-10,6       7
7      1-4-8  -1    12
8       14   -1   9
9        1     1 15
10 -1       1      2
11   -1         4
12             13
13     -1       6
14            -0,514
15          -1   1 11

 

Таблиця 4.1

Граничні параметриРама без пружної основиРама на пружній основіРезультати методу переміщень [291]
0,1720,0740,0890,104
0,00,00,00,0
0,0680,0290,0350,0410,038
0,9720,4610,5360,610
-0,108-0,047-0,056-0,066
0,7590,4540,4980,5370,5
-0,153-0,066-0,079-0,093
0,0680,0290,0350,0410,038
-0,108-0,047-0,056-0,066
0,00,00,00,0
0,1080,0470,0560,066
0,4420,1910,2290,2670,245
-0,366-0,158-0,189-0,221-0,203
0,50,1820,2510,3570,209
0,1080,0470,0560,066

Виконаємо тестування рівняння (4.24) на задачах динаміки й стійкості стержнів. Трансцендентні рівняння будувалися по алгоритму МГЕ. Наприклад, для стержня з жорстко затисненими граничними перерізами схема (1.46) приводить до наступного рівняння для власних значень

Рівняння власних коливань для стержня, що має вільний кінець, формувалося з урахуванням граничних умов

Частоти власних коливань і критичні сили окремих стержнів представлені в табл. 4.2. Дані таблиці підтверджують думку про істотний вплив пружної основи на частоти власних коливань і критичні сили.

Таблиця 4.2

 

Схема обпирання стержня на пружній основіРівняння для визначення власних коливаньЧастоти власних коливаньКритичні сили втрати стійкості
при відсутності пружної основипри наявності пружної основипри відсутності пружної основипри наявності пружної основи
22,37

61,76

120,91

15,855

43,645

85,525

39,47839,675
15,42

49,97

104,24

10,955

35,375

73,756

20,14220,395
3,52

22,03

61,70

2,6465

15,6575

43,685

2,4672,785
9,87

39,48

88,83

7,0585

27,965

62,855

9,8710,095

 

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019