.

Стаціонарне електричне поле у вакуумі (рефера)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
2 5205
Скачать документ

Реферат на тему

Стаціонарне електричне поле у вакуумі

Диференціальні оператори і рівняння теорії полів у різних системах
координат

а) Декартові координати (x, y, z):

Градієнт скалярного поля ?(x, y, z):

. (1.1а)

:

. (1.2а)

:

. (1.3а)

Оператор Лапласа

. (1.4а)

:

. (1.5а)

б) циліндричні координати (r, ?, z):

Складові градієнта скалярного поля ?(r, ?, z):

. 1б)

:

. (1.2б)

:

, (1.3б)

.

Оператор Лапласа

. (1.4б)

:

. (1.5б)

в) сферичні координати (r, ?, ?):

Складові градієнта скалярного поля ?(r, ?, ?):

. (1.1в)

:

. (1.2в)

:

, (1.3в)

.

Оператор Лапласа

. (1.4в)

:

. (1.5в)

Основні теореми і формули теорії векторних полів

Наступні теореми, дозволяють перетворювати одне в одного потрійні,
поверхневі і криволінійні інтеграли.

Теорема Остроградського – Гаусса.

, (1.6)

– вектор нормалі до зовнішньої частини цієї поверхні, проведений з
серединної точки елемента d?.

Теорема Стокса.

, (1.7)

– вектор нормалі до цієї поверхні, проведений з серединної точки
елемента d? так, що він утворює правогвинтову систему з напрямком обходу
контуру.

Властивості диференціальних операторів:

;

;

;

;

;

;

.

Новий матеріал.

Електричне поле, створюване заданим розподілом зарядів. Рівняння
Пуассона і Лапласа. Потенціал точкового і просторово розподілених
зарядів. [2, 3]

Потенціал системи зарядів на великих відстанях (мультипольне
розвинення). [2, 3]

Електростатичне поле у дипольному наближенні, дипольний момент. [3]

Енергія електростатичного поля у вакуумі. Система нерухомих зарядів у
зовнішньому електричному полі. [2, 3]

, знаходиться за формулою:

. (1.8)

знаходиться як векторна сума напруженостей полів, створених у цій
точці кожним із зарядів:

. (1.9)

У випадку зарядженого тіла, що займає область простору ?, обмежену
поверхнею ? формула (1.9) набуває вигляду:

, (1.10)

.

Використання формули (1.10) можливе за умови, що розподіл заряду в
кожній точці даного тіла відомий. Якщо це не так, можна скористатись
теоремою Гаусса, згідно якої

, (1.11)

де q – сумарний заряд, що міститься під замкненою поверхнею ?. Вибираючи
певним чином поверхню, можна знайти напруженість поля у потрібній точці.
Теорема Гаусса може бути записана й у диференціальній формі:

. (1.12)

Векторне поле вважається повністю визначеним, якщо у кожній точці
простору визначено його дивергенцію і ротор. Співвідношення (1.12)
визначає першу з цих величин і тому називається першим рівнянням
електростатики вакууму. Друге рівняння електростатики

(1.13)

відображає факт потенціальності електростатичного поля; у інтегральній
формі воно записується так:

. (1.14)

Перша з властивостей диференціальних операторів свідчить про те, що
рівняння (1.13) задовольняється тотожньо, якщо покласти

. (1.15)

, вздовж дуги AB довільної форми:

. (1.16)

Робота по переміщенню точкового заряду q з положення 1 у положення 2
визначається тільки величиною цього заряду і різницею потенціалів
кінцевої і початкової точок:

, (1.17)

або

,

де

(1.18)

зовнішнього електричного поля. Поле створюється електричними зарядами,
отже (1.18) являє собою енергію взаємодії зарядів. У випадку системи n
точкових зарядів її можна знайти за формулою:

, (1.19)

– потенціал поля, створеного у місці знаходження i-го заряду усіма
іншими зарядами. У більш загальному випадку поля, створеного довільною
системою зарядів, що займає область простору ?, його енергія
визначається розподілом заряду і потенціалу

, (1.20)

– на поверхні, що її обмежує. Енергію електричного поля у вакуумі
можна також визначити, якщо відомо закон розподілу його напруженості:

, (1.21)

де інтегрування проводиться по усіх точках області ?, включно з її
межами. З (1.21), зокрема випливає, що величина

(1.22)

визначає густину енергії електричного поля у вакуумі.

На точковий заряд q, що знаходиться у зовнішньому електричному полі, діє
сила

, (1.23)

що приводить до його прискорення (при q > 0) або сповільнення (при q IJ

o

„O

„Ae^„O

AeAEEIIooeouP

|

?

?

?

?

U

Ue

TH

a

ae

ae

e

i

?

o

o

„O

„Ae^„O

„O

„Ae^„O

„O

„7^„O

„O

„Ae^„O

„O

„Ae^„O

„O

„Ae^„O

?

i

потенціал електричного поля, створеного зарядом q, рівномірно
розподіленим по об’єму кулі, радіуса R.

Розв’язування. Заряджене тіло володіє сферичною симетрією, тому
розв’язок задачі зручно шукати, застосовуючи теорему Гаусса (1.11). Для
цього розмістимо початок системи координат у центрі кулі і будемо
вважати його центром сферичної поверхні довільного радіуса r.
Напруженість поля перпендикулярна до поверхні зарядженого тіла, тому

,

де

– заряд, зосереджений всередині побудованої сфери радіуса r. Якщо r R) – Er = ?R2/(2?0r), E? = Ez = 0, ? = – ?R2 ln(r/R)/(2?0).

1.3. Знайти напруженість і потенціал поля, створеного поверхнею
нескінченно довгого прямого кругового циліндра радіуса R, рівномірно
зарядженою з поверхневою густиною заряду ?.

Відповідь. В циліндричні системі координат для точок всередині циліндра
поле відсутнє, а назовні (r ? R) – Er = ?R/(?0r), E? = Ez = 0, ? = – ?R
ln(r/R)/?0.

1.4. Визначити потенціал поля, створеного рівномірно зарядженою
поверхнею прямого кругового циліндра у точках, розташованих на його осі.
Поверхнева щільність розподілу заряду – ?, радіус основи циліндра – R, а
його висота – H.

Відповідь: У системі координат, центр якої співпадає з центром циліндра,
а вісь Oz напрямлена вздовж його осі

.

1.5. Нескінчена плоска плита товщиною a рівномірно заряджена з об’ємною
густиною заряду ?. Знайти потенціал і напруженість поля, створеного цією
плитою.

при (|z| R2.

1.7. У просторі між двома концентричними сферами, радіуси яких R1 і R2
(R1 R2.

1.8. Знайти потенціал і встановити форму еквіпотенціальних поверхонь
поля, створеного парою різнойменно заряджених з постійною лінійною
густиною заряду ? нескінченно довгих паралельно розташованих прямих
ниток.

Відповідь. Еквіпотенціальні поверхні – поверхні прямих кругових
циліндрів, вісі яких лежать у одній площині з зарядженими нитками і
паралельні їм; ? = ? ln(r2/r1)/(2??0), де r1 і r2 – віддалі від точки
спостереження до першої та другої ниток.

1.9. Виходячи з міркувань симетрії і використовуючи принцип
суперпозиції, знайдіть потенціал точок кола, на яке спирається
рівномірно заряджена півсфера радіуса R. Заряд півсфери q.

Відповідь. ? = q/(4??0R).

1.10. Прямолінійний відрізок довжиною l рівномірно заряджений з густиною
заряду ? = 10 мкКл/м. Яку роботу потрібно виконати для перенесення
точкового заряду q = 0,1 нКл вздовж прямої, що проходить через даний
відрізок з точки, віддаленої на відстань l від його кінця у точку,
віддалену від нього на відстань 2l.

Відповідь. A = q? ln0,75/(4??0) = – 0,26 мДж.

, паралельним вісі Oy, у початок декартової системи координат, знайдіть
компоненти вектора напруженості створеного ним поля у точці (x0,y0,z0).

,

.

1.12. Визначити енергію електростатичного поля сфери радіуса R,
рівномірно зарядженої з поверхневою густиною заряду ?.

Відповідь. W = 2??2R3/?0.

1.13. Заряд q рівномірно розподілений на поверхні сфери радіуса R.
Знайти абсолютну величину сили F, що розриває сферу навпіл.

Відповідь. F = q2/(32??0R2).

1.14. Дві концентричні сфери радіусів R1 і R2 > R1, відповідно,
рівномірно заряджені до величин q1 і q2. Обчислити потенціальну енергію
цієї системи зарядів.

.

1.15. Оцінити енергію пари заряджених металічних кульок, що знаходяться
на великій відстані r одна від одної. Радіуси кульок a і b, їх заряди –
q1 і q2.

.

Рекомендована література

Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. ч. II. – М.:
Наука, 1973.

Ахиезер А.И., Ахиезер И.А. Электромагнетизм и электромагнитные волны. –
М.: Наука, 1985.

В.В. Никольский. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.:
Наука, 1978.

Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1976.

Семенов Н.А. Техническая электродинамика. – М.: Связь, 1973.

Витевский В.Б., Павловская Э.А. Электромагнитные волны в технике связи.
– М.: Радио и связь, 1995.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.:
Наука, 1977.

Теоретична електротехніка.- Львів: ЛНУ, 2002.- 185с.

Малинівський Степан Миколайович Загальна електротехніка.- Львів: Вид-во
“Бескид Біт”, 2003.- 640с.

Мазуренко О.Г., Шуліка В.П., Журавков О.В. Трансформатори та електричні
машини (Електротехніка. Ч.2).- Вінниця: Нова Книга, 2005.- 176с.

Паначевний Борис Іванович., Свергун Юрій Федорович Загальна
електротехніка: теорія і практикум.- К.: Каравела, 2003.- 440с.

Наукові праці Донецького національного технічного університету: Сер.
“Електротехніка і енергетика”. Вип. 67/ Голов. ред. Є.О.Башков.-
Донецьк: ДонНТУ, 2003.- 204с.- 7.00

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020