Статика арочних систем. Вивід системи диференційних рівнянь деформування плоского кругового стержня. Фундаментальні рішення для кругового стержня
Статика арочних систем
У сучасній техніці й будівництві широко використовуються стержневі системи, що містять криволінійні стержні у вигляді дуги окружності, параболи, кубічної параболи й т.д. У довідковій літературі приводяться рішення різних задач плоского деформування кругового стержня з урахуванням тільки деформації згину. В 1938р. проф. Н. К. Снітко одержав рішення задачі плоского деформування кругового стержня з урахуванням деформацій згину й розтягання тільки для частки випадку навантаження (рис.2.24).
Рис. 2.24
Відсутність достатньо повного аналітичного рішення задачі плоского деформування кругового стержня сприяло тому, що в ряді робіт рекомендується заміняти криволінійні стрижні набором прямолінійних стержнів. Така модель досить добре відображає поводження криволінійних стержнів тільки при великій кількості стержнів, які заміняють. У роботі Н.К. Снітко показано, що похибка полігональної апроксимації кругового стержня не перевищує 1,0 %, якщо прямолінійний стержень стягає дугу криволінійного стрижня приблизно в 5 градусів. Таким чином, кільце може бути представлено правильним багатокутником з 72 стрижнів, а арка в – 18 стрижнями. Далі розрахунок стержневої системи може бути виконаний МКЕ, методом сил і інших методів.
Істотно знизити трудомісткість розрахунку, спростити алгоритм, підвищити вірогідність результатів можна при наявності фундаментальних рішень плоского деформування кругового стержня.
Вивід системи диференційних рівнянь деформування плоского кругового стержня
Для побудови співвідношень МГЕ кругового стержня приймаємо лівогвинтову систему координат з напрямком осі «донизу». На рис. 2.24 показані позитивні напрямки навантаження й статичних параметрів. Позитивні напрямки кінематичних параметрів приймаємо такими ж, як і для прямолінійних стержнів, тобто лінійні переміщення в напрямку осей , вважаються позитивними. Кутові переміщення позитивні, якщо вони спрямовані за годинниковою стрілкою з боку осі . Рівновага елемента (рис. 2.24) приводить до наступних рівнянь
| ; | (2.24) |
| ; | (2.25) |
| ; | (2.26) |
Тут – кутова координата. Принцип подвійності статичних і геометричних рівнянь дозволяє одержати вираз для деформації осі кругового стержня:
| ; , | (2.27) |
де – деформація розтягання-стискання;
– кривизна після деформування;
, – переміщення точки осі в напрямку дотичної і нормалі (поздовжнє й поперечне переміщення);
– деформація зсуву.
Для кругового стержня виконується також геометричне співвідношення
| , | (2.28) |
де – кут повороту перетину.
Фізичні рівняння зв’язку між напруженнями й деформаціями кругового стержня аналогічні прямолінійному стержню
| (2.29) |
Набір рівнянь (2.24) – (2.29) свідчить про прийняття моделі жорсткого кругового стержня з припущенями:
1 – застосовності гіпотези плоских нормалей;
2 – недеформовності поперечних перерізів при навантаженні;
3 – малості кривизни й деформацій.
Урахувати деформацію зсуву досить важко. Тому в подальших викладеннях приймаємо , що, як показано нижче, несуттєво впливає на точність результатів. Виражаючи нормальну й поперечну сили через переміщення за допомогою (2.26), (2.27), (2.29) і підставляючи їх в (2.24), (2.25), одержимо зв’язану систему диференційних рівнянь плоского деформування кругового стержня в переміщеннях
| , | (2.30) |
де перше рівняння відповідає згинанню, а друге – розтяганню поздовжнього стержня.
З аналізу системи рівнянь (2.30) випливають два цікавих виводи:
1) Якщо зневажити деформаціями зсуву й розтягання, то згідно (2.27) і система (2.30) розпадається на два незалежних рівняння, рішення яких у формі методу початкових параметрів наведені в довідниках.
2) Якщо , то система рівнянь (2.30) може бути зведена до одного рівняння. Першим це виявив і одержав рішення для частного випадку проф. Н.К. Снітко.
Фундаментальні рішення для кругового стержня
У зв’язку з вищевикладеним, одержимо аналітичне рішення системи рівнянь (2.30) з побудовою функцій Гріна для переміщень . Для рішення даної задачі скористаємося апаратом інтегральних перетворень Лапласа, де оригіналами виступають переміщення . Відповідно до теореми про диференціювання оригіналу будемо мати
; ; ;
;
| ; ; | (2.31) |
; ; ,
де , – невідомі зображення оригіналів , ;
– змінна інтегрального перетворення Лапласа.
Початкові значення переміщень та їх похідних пов’язані з початковими параметрами кругового стержня залежностями згідно (2.27)- (2.30).
; ; ;
| ; | (2.32) |
Підставляючи співвідношення (2.31) у систему (2.30) і вирішуючи її алгебраїчно, одержуємо невідомі зображення
Отримані зображення являють собою алгебраїчні суми правильних дрібно-раціональних функцій, для обігу яких можна застосувати другу теорему розкладання. Перехід від зображень до оригіналів відповідно до цієї теореми проведемо за допомогою співвідношень
;
;
;
; ; ;
; ; ;
; ;
; .
Обіг членів, що містять зображення навантажень, виконується по теоремі множення: при згортанні оригіналів їх зображення перемножуються. Тому добуток зображень будуть мати оригінали у вигляді згорток відповідних функцій.
;
Після обігу зображень вирази для переміщень запишуться в такий спосіб
Статичні й кінематичні параметри напружено-деформованого стану кругового стержня зручно представити через початкові параметри. Для цього виразимо переміщення , через початкові параметри відповідно до виразів (2.32). Потім переміщення та їх похідні підставимо в залежності (2.26), (2.28), (2.29). Матричне рівняння МГЕ для кругового стержня прийме вид:
| (2.33) |
де фундаментальні ортонормовані функції й вантажні елементи представляються виразами
|
|
(2.34) |
Підкреслені члени враховують деформацію розтягання. Вирази:
|
|
(2.35) |
є функціями Гріна для переміщень , . Алгоритм їх побудови для системи диференційних рівнянь відрізняється від алгоритму п.1.3 і зводиться до відшукання згортки двох функцій.
Підкреслені члени виразів (2.34) починають впливати при значній положистості кругового стержня . Елементи вектора навантаження після підстановки , по (1.26), (1.27) і інтегрування приймають вид
| (2.36) |
В арочних системах розподілене навантаження часто має вигляд, показаний на рис. 2.25.
Тоді:
| (2.37) |
Якщо підставити вираз (2.37) в (2.34) і проінтегрувати, то елементи вектора навантаження рівняння (2.33) запишуться в такий спосіб:
Рис. 2.25
| (2.38) |
де символ A позначає, що відповідний вираз в дужках є сплайн-функцією аргументів Таким чином, рівняння (2.33) із правими частинами (2.36), (2.38) буде аналітичним рішенням системи диференційних рівнянь (2.30) для кругового стержня, а прийняті допущення при його побудові відповідають точності третього наближення по класифікації проф. А.П. Філіна.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
