Статично визначені й невизначені ферми
Приклад Визначити зусилля в стержнях ферми (рис. 2.5).
буде містити рівняння рівноваги вузлів і незалежні кінцеві параметри,
Рис. 2.5
тобто відомий метод розрахунку ферм – метод вирізання вузлів є окремим
випадком МГЕ, коли не використовуються рівняння для поздовжніх
переміщень.
Алгоритм МГЕ представимо набором окремих пунктів.
1. Виконуємо кінематичний аналіз і визначаємо число ступенів волі по
формулі:
, то ферма геометрично незмінна й статично визначена.
2. Розбиваємо ферму на 13 стержнів і нумеруємо вузли. Позначаємо
стрілками початок і кінець кожного стержня (рис. 2.5).
).
13
ферми й розв’язної системи рівнянь МГЕ представлені нижче.
4. Переставляючи рядки, як показано цифрами праворуч, методом Гаусса
одержуємо зусилля, що збігаються з результатом аналітичного розрахунку.
Якщо порівнювати з відомою методикою розрахунку Л.О Розина, то очевидна
більш проста логіка МГЕ,
1
???????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????
Приклад Визначити зусилля в стержнях і абсолютні переміщення вузлів
статично невизначеної ферми (рис. 2.6)
тобто ферма геометрично незмінна й статично невизначена.
2. Розбиваємо ферму на 6 стержнів і нумеруємо вузли. Стрілки на рис. 2.6
показують початок і кінець кожного стержня.
Рис. 2.6
3. Складаємо рівняння рівноваги вузлів ферми відповідно до рис. 2.6.
Рівняння рівноваги, що містять реакції зовнішніх зв’язків не
розглядаємо.
Вузол 1
Вузол 2
Вузол 3
Рівняння спільності переміщень вузлів 1, 2, 3 складаємо виходячи з
деформованого стану ферми по рис. 2.7, що обране як відповідне заданому
навантаженню.
Рис. 2.7
Положення вузлів ферми після деформування зобразимо окремими схемами
(рис. 2.8).
Рис. 2.8
Вузол 1
??
th
8
?
6
8
?
?
?F?
?F?
?F?
?F?
?F?
?F?
?F?
?F?
?F?
?F?
?F?
?F?
?F?
?????????’?
??????????????’ ?$?x?d????????$??’?л 2
Вузол 3
Горизонтальну силу включаємо в навантаження стержня 2-3, вертикальну
силу – у навантаження стержня 1-2 і – у навантаження стержня 0-3.
Приймаючи , формуємо матриці МГЕ
1 ; 1 ; 1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6 -2
7
7
7
8
8
8 1
9
9
9
10
10
10
11
11
11
12
12
12 -1
В матрицю переносимо незалежні параметри 5, 7, 10 і 11 рядків вектора ,
інші параметри переносимо по рівняннях їх зв’язку. Топологічна матриця
і розв’язна система рівнянь МГЕ даної ферми приймає вид
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1
2 0,8
3 -1 1
4 1,25
5 -1
6 0,6
7 -1
8 -3/4
9 -1 -1
10 -1
11 -1
12 0,8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 4 1 9
2 1 0,8 2
3 -1 5 1 4
4 1 1,25 12
5 -1 3 3
6 1 0,6 = -2 6
7 -1 3 1
8 1 -3/4 1 8
9 -1 -1 1 5 5
10 -1 1 10
11 -1 1 4 11
12 0,8 1 -1 7
4. Переставивши рядки матриць і , як показано цифрами праворуч, методом
Гаусса визначаємо значення граничних параметрів, які збігаються з
результатами змішаного методу розрахунку.
; ;
Порівняння МГЕ з алгоритмом змішаного методу показує, що логіка
формування розв’язної системи рівнянь МГЕ більш проста й вимагає
складання однієї матриці коефіцієнтів , а в змішаному методі матриця
коефіцієнтів формується із двох матриць. Відзначимо також, що
заповнювання матриці МГЕ для даного прикладу дорівнює 19,4 %, у
змішаному методі – 21,5 %. Після прямого ходу методу Гаусса заповнювання
матриці МГЕ зменшується (18%), а заповнювання матриці змішаного методу
збільшується (22,3%). З огляду на те, що по МГЕ визначаються початкові
параметри, а по змішаному методі – вузлові зусилля й переміщення, можна
вважати, що трудомісткість розрахунку ферм по МГЕ буде менше, ніж по
змішаному методу.
Для розрахунку просторових ферм також можна використовувати рівняння
(2.4), але рівняння рівноваги й спільності переміщень вузлів потрібно
становити для просторового випадку роботи елементів ферми.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
