Способи утворення механічних моделей із кінцевим числом ступенів
свободи. Класифікація сил, діючих при коливаннях
Числом ступенів свободи механічної системи називається число незалежних
координат, що однозначно визначають положення всіх її матеріальних
точок. У задачах динаміки положення точок системи змінюються з часом,
отже, координати точок є функціями часу.
Основне завдання динаміки складається у визначенні цих функцій, або, як
кажуть, у визначенні руху системи. Після цього по відомих формулах опору
матеріалів визначаються внутрішні зусилля, напруги і деформації в
елементах коливного тіла.
Будь-яка реальна механічна система складається з нескінченного числа
матеріальних точок, зв’язок між якими не є абсолютно жорстким, тому
число ступенів свободи реальної механічної системи нескінченно велике.
Рішення задачі про коливання таких систем являє собою дуже складну
проблему. Одержати точне аналітичне рішення, як правило, неможливо, а
часто і недоцільно, тому при переході від реального об’єкта дослідження
до розрахункової схеми доводиться вводити спрощення, зв’язані з
обмеженням числа ступенів свободи системи.
Можна виділити три основні способи утворення механічних моделей із
кінцевим числом ступенів свободи системи.
Перший спосіб складається в тому, що відносно менш масивні частини
системи вважаються зовсім невагомими елементами (при цьому вони можуть
вважатися як жорсткими, так і пружними), а найбільш масивні частини
приймаються за абсолютно тверді тіла, що, у випадку їх порівняно
невеликих розмірів, вважаються матеріальними точками.
Наприклад, пружина (мал.1,а) і балка (мал.1,б) вважаються безмасовими і
пружними, а смуги (мал.1,в) – безмасовими і жорсткими. У якості
узагальненої координати прийняті горизонтальне (мал.1,а) і вертикальне
(мал.1,б,в) переміщення. Всі зазначені моделі є системами з одним
ступенем свободи.
Мал. 1
Аналогічним способом можна утворювати моделі з будь-яким кінцевим числом
ступенів свободи.
Другий спосіб складається в тому, що розподілені по всьому об’єму
системи властивості податливості зосереджуються в кінцевому числі точок
або ліній. При цьому система подається у вигляді сукупності пружно
зв’язаних жорстких елементів.
Наприклад, пружна балка з рівномірно розподіленою масою може бути
приблизно замінена жорсткими ланками, з’єднаними пружними шарнірами,
кількість яких визначається необхідним рівнем точності рішення задачі
(мал.2).
Мал. 2
в процесі коливань.
заздалегідь призначається.
Мал. 3
, через який виражаються переміщення всіх точок системи. Таким чином,
реальний об’єкт приведений до механічної моделі з одним ступенем
свободи.
За таким же способом для балки на двох опорах можна прийняти, що форма
вигнутої осі залишається незмінною в будь-який момент часу, а змінюється
тільки її масштаб. Тоді вертикальне переміщення точок балки при її
коливаннях, що являє собою функцію двох перемінних, можна представити у
вигляді
де f(x) – постійна функція форми, а q(t) – перемінна функція часу, що є
єдиним невідомим задачі. Та сама реальна механічна система може бути
приведена до моделі з однією або декількома ступенями свободи будь-яким
із трьох перерахованих способів.
1.2. Класифікація сил, діючих при коливаннях
При визначених допущеннях усі різноманітні по своїй природі зовнішні і
внутрішні сили, що діють у коливній системі, можна розподілити на
декілька характерних груп.
jc
$ть на нього. Причини виникнення цих сил дуже різноманітні. Наприклад,
при роботі електродвигуна, установленого на балці або на якомусь
фундаменті, унаслідок неурівноваженості ротора виникає відцентрова сила
інерції, вертикальна складова якої викликає коливання опорної
конструкції. Цей вид порушення коливань називається інерційним. Можливі
інші причини виникнення вимушуючих сил, наприклад, періодичні зміни
тиску в циліндрах двигунів внутрішнього згорання або періодичні зміни
сил тяжіння електромагнітів, що живляться від джерела змінного струму.
Всі перераховані випадки являють собою силове порушення змушених
коливань. У деяких випадках порушення коливань задається кінематично,
наприклад, автомобіль, що рухається по нерівній дорозі. Таке порушення
завжди можна замінити еквівалентним силовим порушенням.
Дуже різноманітні закони зміни вимушуючих сил у часі. Найбільш часто
зустрічаються періодичні вимушуючі сили. Особливу роль тут відіграє
гармонійна вимушуюча сила, тобто сила, що змінюється в часі за законом
синуса або косинуса. Така сила виникає при роботі машин із рівномірно
обертовими роторами. Машини з кривошипно-шатунними механізмами також
викликають появу періодичної сили, що, проте, не є гармонійною.
Можливі також коливання, обумовлені дією неперіодичних вимушуючих сил,
що представляють собою випадкові функції часу – випадкові процеси. До
останнього відноситься, наприклад, вже згадуваний вплив нерівної дороги
на автомобіль, що рухається.
Узагальнені позиційні сили – це сили, що залежать від положення точок
системи, тобто від узагальнених координат. Особливе значення тут мають
відновлюючі сили, що виникають при відхиленні системи від положення
рівноваги. Ці сили обусловлюють спроможність системи робити вільні
коливання. Основним типом відновлюючих сил є сили пружності. У
найпростішому випадку лінійно-деформовної системи відновлююча сила
пружності пропорційна відхиленню системи. Властивості пружних зв’язків
при цьому визначаються коефіцієнтом жорсткості, що являє собою
узагальнену силу, здатну викликати узагальнене одиничне переміщення.
Можливі випадки, коли між силою і відхиленням існує нелінійна
залежність. При цьому пружні властивості зв’язків неможливо визначити
одним коефіцієнтом і доводиться використовувати так звану пружну
характеристику, рівняння котрої F=F(x) ілюструється графіком у
координатах x, F. Пружна характеристика будується розрахунковим шляхом
або експериментально.
Поряд із силами пружності відновлюючими властивостями володіють також
сила плавучості й у окремих випадках сила ваги.
. У ряді випадків характеристика тертя може бути нелінійною або
розривною.
(мал.4). Момент зовнішніх сил щодо осі шарніра дорівнює сумі моментів
сили ваги mg і сили F:
.
Мал. 4
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
