Складний і косий згин (реферат)

Складний і косий згин

Складний вигин викликається силами або моментами, розташованими в різних площинах, що проходять через вісь балки (рис. 10.12, а). Такий вигин називається також неплоским вигином, тому що вигнута вісь балки не є плоскою кривою.

Рис. 10.12. Складний вигин

Якщо всі навантаження, що викликають вигин, діють в одній площині, що не збігається з жодною з головних площин, то вигин називається косим (рис. 10.13, а).

Рис. 10.13. Косий вигин

Як у випадку неплоского, так і у випадку косого згинання, найбільш зручно приводити вигин у двох площинах. Для цього навантаження, що діють у довільних поздовжніх силових площинах, потрібно розкласти на складові, розташовані в головних площинах ху й xz, де осі у и z — головні осі інерції перетину (рис. 10.12 і 10.13). Таким чином, схеми навантаження брусів при складному і косому згинанні можуть бути представлені так, як показано на рис. 10.12, б і 10.13, б відповідно.

При складному вигині в поперечних перерізах бруса в загальному випадку виникають чотири внутрішніх силових фактори: Q_z, Q_y, М_z і М_у. Проводячи розрахунок на міцність при складному вигині, звичайно зневажають впливом дотичних напружень.

Обчислимо напруження в деякій точці (у, z) довільного поперечного переріза, розташувавши її для визначеності в першому квадранті (рис. 10.14, а). Напрямки головних осей показані на рисунку. Згинальні моменти будемо вважати позитивними, якщо вони викликають у точку першого квадранта напруження, що розтягують.

Рис. 10.14. Обчислення напружень у довільній точці перерізу

Виходячи із принципу суперпозиції, знайдемо напруження в зазначеній точці, розглядаючи два плоских вигини. Нехай спочатку діє тільки момент М_z. Тоді нормальне напруження в точці

Якщо діє тільки момент М_у, то напруження

Очевидно, що при одночасній дії обох згинальних моментів напруження

Формула (10.36) дозволяє визначити нормальні напруження в будь-якій точці поперечного переріза при складному, або, як говорять ще, просторовому згинанні. Згинальні моменти й координати точок, у яких визначають напруження, підставляють у цю формулу зі своїми знаками.

У випадку косого вигину (рис. 10.15) згинальні моменти М_z і М_у  зв’язані залежностями

де М — згинальний момент у даному перетині в силовій площині  (рис. 10.15).

Рис. 10.15. Косий вигин

Тоді, використовуючи формулу (10.36), будемо мати

або

Рівняння нейтральної лінії при складному вигині в будь-якому поперечному перерізі одержимо з формули (10.36), поклавши  і позначивши координати точок нейтральної лінії через  і  (рис. 10.14, б). Тоді

Це рівняння являє собою рівняння прямої, що проходить через початок координат (центр ваги перетину). Положення нейтральної лінії характеризується її кутовим коефіцієнтом

У загальному випадку складного (просторового) вигину кути нахилу нейтральних ліній уздовж осі бруса не залишаються постійними, а змінюються відповідно до зміни співвідношення величин згинальних моментів М_z і М_у, як це виходить з виразу (10.40).

Якщо в деякому перетині бруса, де діють згинальні моменти М_z і М_у (рис. 10.16, а), потрібно знайти положення нейтральної лінії, то зручно для наочності спочатку показати положення силової лінії р — р. Найбільше просто виконати це, побудувавши векторну діаграму моментів (рис. 10.16, б), що показує напрямок результуючого вектора-моменту М і, отже, визначає кут  нахилу його площини дії (силової лінії р — р):

Тепер вираз (10.40) для кута нахилу нейтральної ліній з урахуванням формули (10.41) можна представити так:

Аналізуючи цей вираз, знаходимо, що на відміну від плоского (прямого) згинання при складному вигині нейтральна й силова лінії в загальному випадку (коли ) не будуть взаємно перпендикулярні.

Рис. 10.16. Векторна діаграма моментів

При косому вигині відповідно до формул (10.37) відношення згинальних моментів М_у й М_z постійно по всій довжині бруса . Тому з виразу (10.42) виходить, що й кут  нахилу нейтральної лінії також постійний. Виходить, поперечні перерізи бруса, залишаючись плоскими, повертаються навколо паралельних один одному нейтральних ліній, як і при простому плоскому вигині. Скривлення осі бруса при цьому відбувається в одній площині n — n, нормальної до напрямку нейтральної лінії (рис. 10.15). Ця площина називається площиною згинання.

Перевірку міцності варто проводити в тих перетинах, де згинальні моменти М_у й М_z одночасно великі. Таких перетинів у загальному випадку складного вигину може бути кілька.

Якщо небезпечний переріз відомо, то в ньому потрібно відшукати небезпечні точки. Наочне подання про розподіл напружень  і  по поперечному перерізу бруса дають відповідні епюри, представлені на рис. 10.16, б. Для побудови епюри сумарних напружень  необхідно провести базис епюри перпендикулярно до нейтральної лінії. Тому що з формули (10.36) виходить, що епюра  лінійна, то для її побудови, крім відомої нульової точки, досить обчислити яку-небудь одну ординату, наприклад для точки A. Очевидно, найбільш напруженими точками перетину будуть точки, найбільш вилучені від нейтральної лінії — точки A і В (рис. 10.16, б). У цьому випадку в точці А діє найбільше розтягуюче, а в точці В — найбільше стискаюче напруження.

Таким чином, умови міцності для небезпечних точок мають вигляд

У випадку косого згинання, коли напрямок згинальних моментів такий, як показано на рис. 10.14, а, найбільші напруження, що розтягують, виникають у точці В, а найбільші стискаючі – у точці D (рис. 10.14, б). Умови міцності приймають вид

Зокрема, для прямокутного перетину

тому формули (10.45), (10.46) можна спростити так:

У загальному випадку неплоского вигину умова міцності приймає вид

Аналогічно перевіряється міцність у точці, де діють найбільші стискаючі напруження.

Підбір перетинів при неплоскому вигині – задача більш складна, чим при простому плоскому вигині. При її рішенні необхідно спочатку задатися відношенням моментів опорів і знаходити перетини методом підбора.

Помітимо, що, якщо потрібно знайти дотичні напруження при неплоскому вигині, останні можна визначити по формулах

Визначаючи переміщення, також виходимо із принципу незалежності дії сил і обчислюємо переміщення в кожній з головних площин. Зберігаючи колишнє позначення прогину в напрямку головної осі у через  і позначаючи прогин у напрямку головної осі z через , диференціальні рівняння прогинів у площинах xz і ху запишемо у вигляді

Користуючись зазначеними диференціальними рівняннями, безпосереднім їх інтегруванням або по методу початкових параметрів можна одержати переміщення. Крім того, переміщення можуть бути визначені енергетичними методами, які розглянемо нижче.

Значення повного прогину f перетину визначиться  як геометрична сума прогинів  і :

Як приклад обчислимо прогин вільного кінця консолі, навантаженою силою F, як показано на рис. 10.17.

Рис. 10.17. Визначення прогину вільного кінця консолі

Розкладаючи силу F по напрямках осей, одержимо складові:

Визначаємо прогини в головних площинах (рис. 10.17, в):

Повне переміщення

Визначимо напрямок повного прогину f, для чого знайдемо кут між відрізком  і віссю в:

Порівнюючи формули (10.53) і (10.42), зауважуємо, що кут між площиною вигину і віссю у по абсолютній величині дорівнює куту між нейтральною лінією перетину і віссю z. Звідси виходить, що повний прогин при косому вигині перпендикулярний до нейтральної лінії перетину (рис. 10.17, в). Очевидно, відхилення повного прогину від силової площини тим більше, чим більше відношення .

Помітимо, що, коли , (це має місце для круглого перетину будь-якого правильного багатокутника), сумарний прогин лежить у силовій площині. У цих випадках косий вигин неможливий.

Приклад 10.4. Дерев’яний прогін перетином 16?20 див (рис. 10.18, б) вільно опирається на кроквяні ферми (рис. 10.18, а), відстань між якими 3 м. Прогін навантажений вертикальною рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивності q=4 кН/м. Ухил верхнього пояса крокв ферми 1:2. Визначити найбільші напруження стискання і розтягання в перетині балки, указати точки перетину, де вони мають місце, і знайти повний прогин середнього перетину балки.

Рис. 10.18. Наприклад 10.4

Рішення.

Максимальний згинальний момент, що буде посередині балки,

Складового цього моменту, що діють у головних площинах інерції (щодо осей z і у), визначимо по формулах

Кут нахилу нейтральної лінії n — n визначиться з формули (10.42) так:

Найбільшими будуть напруження стискання в точці B і розтягання — у точці D, тобто в точках, найбільш віддалених від нейтральної лінії:

У точці D, мабуть, буде таке ж по величині напруження розтягання:

Найбільший прогин має місце посередині прольоту. Визначиться він по формулі

у яку замість інтенсивності розподіленого навантаження повинні підставлятися її складові в напрямках головних осей:

а також моменти інерції щодо головних осей z і у. Складові прогину тоді

Повний прогин знайдемо як геометричну суму зазначених складових прогину:

Прогин f лежить у площині, перпендикулярної до нейтральної лінії.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter