.

Складний і косий згин (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
2 4247
Скачать документ

Складний і косий згин

Складний вигин викликається силами або моментами, розташованими в різних площинах, що проходять через вісь балки (рис. 10.12, а). Такий вигин називається також неплоским вигином, тому що вигнута вісь балки не є плоскою кривою.

а
б

Рис. 10.12. Складний вигин

Якщо всі навантаження, що викликають вигин, діють в одній площині, що не збігається з жодною з головних площин, то вигин називається косим (рис. 10.13, а).

а
б

Рис. 10.13. Косий вигин

Як у випадку неплоского, так і у випадку косого згинання, найбільш зручно приводити вигин у двох площинах. Для цього навантаження, що діють у довільних поздовжніх силових площинах, потрібно розкласти на складові, розташовані в головних площинах ху й xz, де осі у и z — головні осі інерції перетину (рис. 10.12 і 10.13). Таким чином, схеми навантаження брусів при складному і косому згинанні можуть бути представлені так, як показано на рис. 10.12, б і 10.13, б відповідно.

При складному вигині в поперечних перерізах бруса в загальному випадку виникають чотири внутрішніх силових фактори: Qz, Qy, Мz і Му. Проводячи розрахунок на міцність при складному вигині, звичайно зневажають впливом дотичних напружень.

Обчислимо напруження в деякій точці (у, z) довільного поперечного переріза, розташувавши її для визначеності в першому квадранті (рис. 10.14, а). Напрямки головних осей показані на рисунку. Згинальні моменти будемо вважати позитивними, якщо вони викликають у точку першого квадранта напруження, що розтягують.

аб

Рис. 10.14. Обчислення напружень у довільній точці перерізу

Виходячи із принципу суперпозиції, знайдемо напруження в зазначеній точці, розглядаючи два плоских вигини. Нехай спочатку діє тільки момент Мz. Тоді нормальне напруження в точці

Якщо діє тільки момент Му, то напруження

Очевидно, що при одночасній дії обох згинальних моментів напруження

(10.36)

Формула (10.36) дозволяє визначити нормальні напруження в будь-якій точці поперечного переріза при складному, або, як говорять ще, просторовому згинанні. Згинальні моменти й координати точок, у яких визначають напруження, підставляють у цю формулу зі своїми знаками.

У випадку косого вигину (рис. 10.15) згинальні моменти Мz і Му  зв’язані залежностями

(10.37)

 

де М — згинальний момент у даному перетині в силовій площині  (рис. 10.15).

Рис. 10.15. Косий вигин

Тоді, використовуючи формулу (10.36), будемо мати

або

(10.38)

Рівняння нейтральної лінії при складному вигині в будь-якому поперечному перерізі одержимо з формули (10.36), поклавши  і позначивши координати точок нейтральної лінії через  і  (рис. 10.14, б). Тоді

(10.39)

Це рівняння являє собою рівняння прямої, що проходить через початок координат (центр ваги перетину). Положення нейтральної лінії характеризується її кутовим коефіцієнтом

(10.40)

У загальному випадку складного (просторового) вигину кути нахилу нейтральних ліній уздовж осі бруса не залишаються постійними, а змінюються відповідно до зміни співвідношення величин згинальних моментів Мz і Му, як це виходить з виразу (10.40).

Якщо в деякому перетині бруса, де діють згинальні моменти Мz і Му (рис. 10.16, а), потрібно знайти положення нейтральної лінії, то зручно для наочності спочатку показати положення силової лінії рр. Найбільше просто виконати це, побудувавши векторну діаграму моментів (рис. 10.16, б), що показує напрямок результуючого вектора-моменту М і, отже, визначає кут  нахилу його площини дії (силової лінії рр):

(10.41)

Тепер вираз (10.40) для кута нахилу нейтральної ліній з урахуванням формули (10.41) можна представити так:

(10.42)

Аналізуючи цей вираз, знаходимо, що на відміну від плоского (прямого) згинання при складному вигині нейтральна й силова лінії в загальному випадку (коли ) не будуть взаємно перпендикулярні.

аб

Рис. 10.16. Векторна діаграма моментів

При косому вигині відповідно до формул (10.37) відношення згинальних моментів Му й Мz постійно по всій довжині бруса . Тому з виразу (10.42) виходить, що й кут  нахилу нейтральної лінії також постійний. Виходить, поперечні перерізи бруса, залишаючись плоскими, повертаються навколо паралельних один одному нейтральних ліній, як і при простому плоскому вигині. Скривлення осі бруса при цьому відбувається в одній площині nn, нормальної до напрямку нейтральної лінії (рис. 10.15). Ця площина називається площиною згинання.

Перевірку міцності варто проводити в тих перетинах, де згинальні моменти Му й Мz одночасно великі. Таких перетинів у загальному випадку складного вигину може бути кілька.

Якщо небезпечний переріз відомо, то в ньому потрібно відшукати небезпечні точки. Наочне подання про розподіл напружень  і  по поперечному перерізу бруса дають відповідні епюри, представлені на рис. 10.16, б. Для побудови епюри сумарних напружень  необхідно провести базис епюри перпендикулярно до нейтральної лінії. Тому що з формули (10.36) виходить, що епюра  лінійна, то для її побудови, крім відомої нульової точки, досить обчислити яку-небудь одну ординату, наприклад для точки A. Очевидно, найбільш напруженими точками перетину будуть точки, найбільш вилучені від нейтральної лінії — точки A і В (рис. 10.16, б). У цьому випадку в точці А діє найбільше розтягуюче, а в точці В — найбільше стискаюче напруження.

Таким чином, умови міцності для небезпечних точок мають вигляд

(10.43)
(10.44)

У випадку косого згинання, коли напрямок згинальних моментів такий, як показано на рис. 10.14, а, найбільші напруження, що розтягують, виникають у точці В, а найбільші стискаючі – у точці D (рис. 10.14, б). Умови міцності приймають вид

(10.45)
(10.46)

Зокрема, для прямокутного перетину

тому формули (10.45), (10.46) можна спростити так:

(10.47)

У загальному випадку неплоского вигину умова міцності приймає вид

(10.48)

Аналогічно перевіряється міцність у точці, де діють найбільші стискаючі напруження.

Підбір перетинів при неплоскому вигині – задача більш складна, чим при простому плоскому вигині. При її рішенні необхідно спочатку задатися відношенням моментів опорів і знаходити перетини методом підбора.

Помітимо, що, якщо потрібно знайти дотичні напруження при неплоскому вигині, останні можна визначити по формулах

Визначаючи переміщення, також виходимо із принципу незалежності дії сил і обчислюємо переміщення в кожній з головних площин. Зберігаючи колишнє позначення прогину в напрямку головної осі у через  і позначаючи прогин у напрямку головної осі z через , диференціальні рівняння прогинів у площинах xz і ху запишемо у вигляді

Користуючись зазначеними диференціальними рівняннями, безпосереднім їх інтегруванням або по методу початкових параметрів можна одержати переміщення. Крім того, переміщення можуть бути визначені енергетичними методами, які розглянемо нижче.

Значення повного прогину f перетину визначиться  як геометрична сума прогинів  і :

(10.49)

Як приклад обчислимо прогин вільного кінця консолі, навантаженою силою F, як показано на рис. 10.17.

абв

Рис. 10.17. Визначення прогину вільного кінця консолі

Розкладаючи силу F по напрямках осей, одержимо складові:

(10.50)

Визначаємо прогини в головних площинах (рис. 10.17, в):

(10.51)

Повне переміщення

(10.52)

Визначимо напрямок повного прогину f, для чого знайдемо кут між відрізком  і віссю в:

(10.53)

Порівнюючи формули (10.53) і (10.42), зауважуємо, що кут між площиною вигину і віссю у по абсолютній величині дорівнює куту між нейтральною лінією перетину і віссю z. Звідси виходить, що повний прогин при косому вигині перпендикулярний до нейтральної лінії перетину (рис. 10.17, в). Очевидно, відхилення повного прогину від силової площини тим більше, чим більше відношення .

Помітимо, що, коли , (це має місце для круглого перетину будь-якого правильного багатокутника), сумарний прогин лежить у силовій площині. У цих випадках косий вигин неможливий.

Приклад 10.4. Дерев’яний прогін перетином 16?20 див (рис. 10.18, б) вільно опирається на кроквяні ферми (рис. 10.18, а), відстань між якими 3 м. Прогін навантажений вертикальною рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивності q=4 кН/м. Ухил верхнього пояса крокв ферми 1:2. Визначити найбільші напруження стискання і розтягання в перетині балки, указати точки перетину, де вони мають місце, і знайти повний прогин середнього перетину балки.

аб

Рис. 10.18. Наприклад 10.4

Рішення.

Максимальний згинальний момент, що буде посередині балки,

Складового цього моменту, що діють у головних площинах інерції (щодо осей z і у), визначимо по формулах

Кут нахилу нейтральної лінії nn визначиться з формули (10.42) так:

Найбільшими будуть напруження стискання в точці B і розтягання — у точці D, тобто в точках, найбільш віддалених від нейтральної лінії:

У точці D, мабуть, буде таке ж по величині напруження розтягання:

Найбільший прогин має місце посередині прольоту. Визначиться він по формулі

у яку замість інтенсивності розподіленого навантаження повинні підставлятися її складові в напрямках головних осей:

а також моменти інерції щодо головних осей z і у. Складові прогину тоді

Повний прогин знайдемо як геометричну суму зазначених складових прогину:

Прогин f лежить у площині, перпендикулярної до нейтральної лінії.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019