Системи з одним ступенем свободи при дії сил непружного опору. Вплив грузлого тертя
Загальне рішення. Основне рівняння змушених коливань з урахуванням грузлого тертя приймає вид
(106)
де
Воно відрізняється від відповідного рівняння при вільних коливаннях наявністю правої частини, а від рівняння змушених коливань системи без тертя – наявністю другого доданка в лівій частині. Для одержання загального рішення скористаємося способом, що застосовувався вище при рішенні подібної задачі для n = 0.
Нехай до системи з одним ступенем свободи в момент часу прикладається миттєвий імпульс; наступний коливальний процес можна описати рівнянням
(107)
Визначимо постійні А і з умов початку руху: при повинно бути Х=0, Перша умова дає
З другої умови знайдемо
де .
Таким чином, вільні коливання, викликані імпульсом S, описуються законом
і носять загасаючий характер.
Як і вище, будемо розглядати змушуючу силу у виді послідовності нескінченно малих імпульсів. Тоді загальне рішення задачі про дію сили F(t) приймає вид
, (108)
причому, закон зміни сили F(t) може бути будь-яким.
Гармонійна змушуюча сила. У практично важливому випадку дії гармонійної сили рішення (108) дає
(109)
де
(110)
(111)
Введемо, як і вище, динамічний коефіцієнт
(112)
Динамічний коефіцієнт не обертається в нескінченність ні при яких значеннях частоти обурення p; цим знайдений результат істотно відрізняється від рішення, отриманого вище без урахування пружного опору. Залежність від відношення частот при різних значеннях відношення наведена на мал.45,a. Максимум динамічного коефіцієнта дещо зміщений убік від абсциси Однак цей зсув малий, і можна приблизно визначати підставляючи в (112) тобто .
Мал. 45
Звідси видно, що максимум динамічного коефіцієнта обернено пропорційний коефіцієнту загасання n. З графіків (мал.45,a) випливає, що сили грузлого опору роблять помітний вплив тільки в білярезонансній області. Це дозволяє у відаленні від резонансу приймати для криву, побудовану без урахування грузлого опору (рис41,a), а у всій білярезонансній області приймати .
Розглянемо питання про “запізнювання” коливань. Фазовий кут визначається формулою (111) і залежить від відношення частот (мал.45,б).
Як видно, при малих частотах p кут невеликий. При резонансі фазовий кут дорівнює , тобто в ті миті, коли сила максимальна, переміщення дорівнює нулю. При високих частотах фазовий кут близький до , тобто максимуму сили відповідає максимум переміщення.
Дія періодичних імпульсів. У якості вихідного виразу приймемо замість (104) закон вільних загасаючих коливань:
. (113)
Диференціюючи, одержимо вираз швидкості
.
Початок відліку відрахуємо від часу (мал.44,б). Для миті можна записати:
;
.
У мить переміщення і швидкість знову рівні і :
(114)
де S – розмір імпульсу.
З рівнянь (114) знаходимо
(115)
Вирахувавши і , можна по формулах (113) знайти рішення х.
Особливий інтерес становлять резонансні режими, при яких період імпульсів T у ціле число разів більший від власного періоду коливань . Позначимо це число через .
.
Тоді
,
і по формулах (115) знаходимо
; .
При малих значеннях можна вважати
тобто ,
і рішення має вид
.
Найбільше значення (резонансна амплітуда) приблизно складає
,
тобто виявляється обернено пропорційним коефіцієнту грузлого опору (як і у випадку гармонійного обурення). Коефіцієнт повторності при резонансі одержимо, розділивши на амплітуду коливань, викликаних однократним ударом :
,
тобто зі збільшенням r (зменшенням частоти імпульсів) резонансні амплітуди убувають.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
