Системи з кінцевим числом ступенів свободи (загальний випадок)
Способи рішення. Якщо зовнішні сили змінюються по періодичному закону, то звичайно їх розкладають у тригонометричний ряд, тобто представляють у виді суми гармонік. Потім, на підставі принципу незалежності дії сил, сумарний рух визначається як сума рухів, викликаних кожною із гармонік окремо. При такому підході задача зводиться до задачі про змушені коливання системи, що викликаються дією однієї гармоніки обурення (або ), де амплітуда змушуючої сили, діючої по i-му напрямку; частота обурення, загальна для всіх сил.
Рішення цієї основної задачі частіше усього ведуть одним із двох способів: безпосереднього рішення або розкладання по власних формах коливань. Найбільше поширення в розрахунковій практиці одержав другий спосіб. Крім цього, іноді використовується спосіб розкладання по власних формах коливань при зберіганні заданого виду періодичних навантажень, тобто без розкладання їх на гармонійні складові.
Особливості кожного з цих способів розглянемо на прикладі найпростішої двомасової системи (мал.48).
- Безпосереднє рішення. Припускаючи, що зовнішнє навантаження розкладене в тригонометричний ряд, досліджуємо рух системи, викликаний однією гармонікою обурення. Сили, що діють на кожну масу, позначимо через і . Надалі буде розглянутий також випадок, коли обидві сили мають однакову частоту, але різні фази.
Мал. 48
Рівняння руху такої системи аналогічні рівнянням руху при вільних коливаннях, але нулі в правих частинах заміняються діючими силами і :
(122)
Рішення цієї системи, як і рішення одного рівняння, складається з двох частин: рішення відповідної однорідної системи і приватного рішення неоднорідної системи (122).
Доданок, що описує коливання з власною частотою (тобто рішення однорідної системи), змінюється з часом, швидко зменшуючись унаслідок дії сил загасання. Основний інтерес представляє друга частина рішення, що відповідає незатухаючому стаціонарному процесу змушених коливань.
Приймемо приватне рішення у виді
; . (123)
Після підстановки (123) у (122) одержимо два рівняння з двома невідомими амплітудами і
(124)
Вирішуючи систему рівнянь (124), знаходимо
(125)
Знаменники виразів для і збігаються з лівою частиною частотного рівняння (42), якщо замінити в ньому літеру літерою . Отже, якщо частота обурення збігається з будь-якою із двох власних частот або , то знаменники формул (125) обернуться в нуль, а амплітуди і стануть нескінченно великими (резонанс).
При формули (125) визначають статичні відхилення обох мас, викликані силами і :
При рішення системи (125) прагнуть до нуля. Залежність амплітуди від частоти показана на мал.49. Цей графік побудований для випадку: . У цьому випадку число резонансів дорівнює двом, що відповідає числу ступенів свободи системи і числу її власних частот.
Мал.49
За допомогою виразів (125) можна знайти форму змушених коливань, обумовлену відношенням до . У загальному випадку ця форма не збігається з жодною з власних форм коливань і тільки при резонансах форма змушених коливань збігається з формою вільних коливань.
Розглянемо дію двох сил однакової частоти, але зрушених по фазі: і . Ці сили можна представити у виді
а потім вирішувати дві задачі: діють тільки “синусні” складові і ; діють тільки “косинусні” складові і .
У першій задачі утворюються рівняння
а в другій (коли приватне рішення має вид: ; )
Вирішуючи кожну з цих задач і сумуючи результати, одержимо рішення вихідної задачі.
Якщо обурюючі сили мають полігармонічну структуру
то резонанс стає можливим при
; ; ; ;
; ; ; ,
тобто при збігу будь-якої із частот змушуючої сили з будь-якою із двох власних частот системи.
2.Розкладання рішення по власних формах коливань.
Знову розглянемо найпростішу систему, що випробує дію змушуючих сил і .
Для виводу основних залежностей розглянутого способу попередньо утворимо допоміжні співвідношення, виходячи з рівнянь (32). Ці рівняння задовольняються як рішеннями
(126)
так і рішеннями
(127)
Підставляючи в рівняння (32) спочатку рішення (126), а потім рішення (127), одержимо дві групи допоміжних співвідношень, що будуть використані надалі:
(128)
(129)
У диференціальних рівняннях (122) невідомими є функції х1 і х2. Основна ідея розглянутого способу складається в заміні цих функцій двома новими функціями і , такими, що
(130)
де і довільні поки числа (можна, наприклад, прийняти ), із котрими і зв’язані відомими співвідношеннями (власні форми коливань). Підставляючи (130) у рівняння (122), одержимо систему диференціальних рівнянь щодо нових функцій і :
(131)
Рівняння (131) можна істотно спростити. За допомогою отриманих вище допоміжних співвідношень (128) і (129) перепишемо (131) у виді
(132)
Подальші спрощення випливають із властивостей ортогональності власних форм коливань. Умножимо перше з рівнянь (132) на , а друге – на і додамо їх:
Відповідно до властивості
із записаного рівняння випадає функція і її друга похідна ; у результаті утворюється диференціальне рівняння, що містить тільки функцію :
(133)
Цілком аналогічно можна одержати диференціальне рівняння, що містить тільки функцію . Для цього потрібно перше з рівнянь (132) помножити на , друге – на й отримані рівняння скласти. Використовуючи потім ту ж властивість ортогональності, будемо мати:
(134)
Таким чином, спосіб розкладання по власних формах коливань приводить до роздільних рівнянь (133) і (134), кожне з яких описує коливання деякої системи з одним ступенем свободи.
Якщо позначити праві частини диференціальних рівнянь (133) і (134) відповідно через і , де
то стаціонарна частина рішення має вид
Підставляючи й у співвідношення (130), одержимо рішення для узагальнених координат і :
Приведені вище дії забезпечують поділ рівнянь при будь-якому кінцевому числі ступенів свободи системи.
3.Розкладання рішення по власних формах коливань при зберіганні
заданого виду періодичних навантажень.
Основна перевага розглянутого вище способу – поділ рівнянь – ніяк не зв’язана з тим або іншим конкретним видом змушуючих сил. Інакше кажучи, поділ рівнянь так само легко досягається у випадку довільно заданих змушуючих сил і , як і в розглянутому випадку гармонійних змушуючих сил . Не повторюючи викладень, відразу приведемо остаточні диференціальні рівняння для загального випадку:
Такі рівняння легко інтегруються при будь-якому виді правих частин. Таким чином, спосіб розкладання рішення по власних формах коливань не вимагає попереднього розкладання змушуючих сил на гармонійні складові. Таке розкладання є досить громіздкою операцією і, як правило, вимагає обліку великого числа гармонік. Ця операція виправдана тільки при рішенні задачі першим способом.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
