Секторіальні характеристики перерізу. Центр згину і його визначення
Визначимо тепер положення точки (рис. 8.1) у площині поперечного переріза і початкової точки на контурі поперечного переріза.
Торчка називається центром вигину, тому що при відсутності поздовжнього навантаження і проходженні рівнодіючого поперечного навантаження через точку інтенсивність крутного моменту та , як це видно з останнього рівняння (8.30). У цьому випадку згинання не супроводжується крутінням.
Встановимо зв’язок між секторіальними площами та , що відповідають різним полюсам; полюс можна важати допоміжним.
Розглядаючи рис. 8.6, помітимо, що
| , | (8.36) |
де
| , | (8.37) |
Рис. 8.6. Зв’язок між секторіальними площами при різних полюсах
Підставляючи вираз (8.37) і (8.36) і використовуючи співвідношення (8.7), одержимо
| , | (8.38) |
звідки після інтегрування знайдемо
| , | (8.39) |
де — довільна постійна.
У виразі (8.39) відомими є величини , і , тому що при обчисленні допоміжної секторіальної площі ми повинні задатися не тільки положенням полюса , але й початком відліку дуги .
Виберемо невідомі , і таким чином, щоб були задоволені умови (8.29). Підставляючи в ці умови замість вираз (8.39) і беручи до уваги залежності (8.28), одержимо
;
;
,
де й — площа й головні центральні моменти інерції площі поперечного перерізу відповідно. З отриманих виразів треба
| ; | (8.40) |
| (8.41) |
Формули (8.41) визначають координати центра згинання, і неважко показати, що положення центра згинання не залежить від вибору допоміжного полюса .
Дійсно, нехай ми взяли полюс у точці , так що згідно (8.41)
| (8.42) |
Але відповідно до виразу
,
що після підстановки у вираз (8.42) призводить до виразу (8.41).
Секторіальну площу, що задовольняє умовам (8.29), будемо називати головною секториальною площею. Початок відліку при визначенні головної секториальної площі (так звана нульова секториальна точка) необхідно знаходити з умови або відповідно до виразу (8.39)
| , | (8.43) |
де , і визначають по формулах (8.40) і (8.41), a відраховують від допоміжного початку відліку.
Знаходити положення секторіальної нульової точки шляхом рішення рівняння (8.43) практично не потрібно, тому ії визначають при побудові епюри секторіальних площ, як це буде показано нижче.
Головна секториальна площа визначається по виразу (8.39), що на підставі залежностей (8.40) і (8.41) може бути перетворене до виду
| . | (8.44) |
Якщо профіль має вісь симетрії, то точка лежить на цій осі, а секторіальна нульова точка — на перетинанні цієї осі з контуром.
Нехай вісь є вісь симетрії й допоміжний полюс обраний на цій осі, тобто . Тоді при початку відліку на осі симетрії секторіальна площа повинна в симетричних відносно осі точках профілю дорівнювати за величиною та обратна за знаком, так що
і , тобто точка лежить на осі симетрії.
У розглянутому випадку , і неважко показати, що рівнянню (8.43) можна задовольнити, якщо початок відліку взяти на осі симетрії. Дійсно, тому що на осі симетрії , за умовою й , те рівняння (8.43) задовольняється при .
Якщо з віссю симетрії збігається стінка профілю, то головну секториальную точку можна взяти в будь-якій точці стінки.
Для найпоширеніших типів профілів складені таблиці, по яких можна визначити положення центра згинання та секториальні характеристики профілів.
Розглянемо як приклад визначення секторіальних характеристик профілю, показаного на рис. 8.7.
Допоміжний полюс і початок відліку візьмемо на стінці профілю в місці перетинання її з віссю симетрії ; на рис. 8.7,а побудована епюра допоміжної секториальної площі .
Так як в розглянутому випадку , то для визначення положення центра згинання потрібно обчислити лише інтеграл у правій частині другої формули (8.41).
| а | б | в |
Рис. 8.7. Приклад визначення секторіальних характеристик
Скориставшись зображеною на рис. 8.7,б епюрою , обчислимо інтеграл
,
так що відповідно до другої формули (8.41)
.
Звідси виходить, що центр згинання перебуває праворуч від точки . Тому що в розглянутому випадку та , то головну секторіальну площу відповідно до виразу (8.39) можна визначити по формулі
,
або при прийнятому вище позначенні
.
Епюра головної секторіальної площі наведена на рис. 8.7,в.
Для обчислення головного секторіального моменту інерції площі, який обчислюється по формулі (8.31), необхідно обчислити інтеграл від квадрата головної секторіальної площі.
Помітимо, що не тільки в розглянутому прикладі, але й для всіх профілів, складених із плоских пластин, епюра головних секторіальних площ на прямих ділянках контуру буде прямою лінією, тобто лінійною функцією дуги . Для обчислення інтегралів від квадратів таких функцій можна користуватися спрощеним способом, відомим під назвою способу Верещагіна.
Зауважуючи, що
,
де — площа, обмежена кривій ;
є статичний момент площі відносно початку координат можемо написати
| . | (8.45) |
Але є абсциса центра ваги площі, обмеженою кривою і віссю абсцис. Тому на підставі виразу (8.45) можна укласти, що певний інтеграл від добутку будь-якої функції на лінійну функцію дорівнює добутку площі, обмеженою кривою й віссю абсцис, на часне значення лінійної функції, що відповідає абсцисі центра ваги згаданої площі.
Застосовуючи це правило в розглянутому випадку, можна одержати
.
Помітимо, що секторіальниє статичні моменти досягають екстремального значення в тих точках контуру, де головні секторіальні площі звертаються в нуль.
Секторіальні характеристики типових поперечних перерізів можна визначати по таблицях, наявним у довідковій літературі. Спеціальні розрахунки доводиться виконувати тільки для складних профілів.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
