Розрахунок циліндричних оболонок, що мають кілька ділянок, по методу початкових параметрів
У загальному випадку навантаження на оболонку можуть діяти кільцеві радіальні сили , кільцеві розподілені моменти , тиск (рис. 13.47). У перетинах, де прикладені навантаження, оболонку ділять на кілька ділянок, для кожного з яких функція — різна.
Для того щоб не визначати велику кількість постійних, доцільно скласти універсальне рівняння пружної поверхні,
Рис. 13.47. Загальний випадок навантаження
у якому постійні інтегрування будуть однакові для всіх ділянок, і будуть виражені через початкові параметри . Тоді вирази функції для різних ділянок будуть відрізнятися тільки кількістю доданків, що утримуються в рівнянні.
При складанні універсального рівняння варто враховувати, що функція і її перша похідна всюди повинні бути безперервні; друга похідна, змінюється розривно в місцях прикладання кільцевих зосереджених моментів. Третя похідна має розриви в місцях прикладення зосереджених радіальних сил, і четверта похідна має розриви в перетинах, де починається розподілене навантаження або де прикладене зосереджене осьове навантаження.
Опускаючи проміжні викладення, напишемо універсальне рівняння пружної поверхні оболонки в остаточному виді
| (13.137) |
де — частне рішення для першої ділянки.
У загальному випадку кількість доданків кожного виду залежить від числа навантажень даного виду. Знаки доданків, прийняті в рівнянні (13.137), відповідають напрямкам навантажень, зазначеним на рис. 13.47. Якщо тиск буде прикладено тільки на деякій ділянці оболонки, то його варто продовжити до кінця оболонки й додану частину компенсувати тиском зворотного напрямку, тобто замість одного заданого навантаження розглядати два навантаження, що тривають до кінця оболонки.
Початкові параметри визначають, як звичайно, із граничних умов. Два з них відомі з умов при ; інші два визначають із граничних умов у кінцевій точці.
Для конкретної оболонки, зображеної на рис. 13.47,
; ;
і універсальне рівняння прийме вид
Невідомі початкові параметри і підлягають визначенню із граничних умов у кінцевому перетині оболонки.
Метод розрахунку осесиметричних циліндричних оболонок, заснований на застосуванні універсального рівняння (13.137), має наступні недоліки.
- Він застосовний до оболонок тільки постійної товщини.
- Цим методом практично можна користуватися, якщо загальна довжина оболонки не дуже велика . У противному випадку функції Крилова приймають дуже великі значення і при обчисленнях доводиться мати справу з малими різницями великих величин, що призводить до втрати точності.
- Обчислення залишаються досить громіздкими, тому що вираз функції для останніх ділянок оболонки містить велику кількість доданків.
Розглянемо інший варіант методу початкових параметрів, застосований до оболонок з будь-яким числом ділянок, а також до оболонок зі східчасто змінною товщиною, і зі східчастою серединною поверхнею.
Напружено-деформований стан у довільному перетині оболонки повністю визначається вектором стану
| (13.138) |
де , – товщина, параметр тонкостінності і жорсткість на початковій (першій) ділянці циліндра. Ці постійні множники введені для того, щоб компоненти вектора були безрозмірними.
Виділимо з оболонки довільну -у ділянку і позначимо через і значення вектора стану в початковій і кінцевій точках.
Тиск і інтенсивність осьової сили по довжині ділянки будемо вважати постійними. Тоді частне рішення для даної, ділянки
| (13.139) |
і, отже, .
Застосуємо до -ої ділянки залежності (13.127) — (13.130); у результаті одержимо формули для обчислення компонентів вектора наприкінці ділянки по їхх значеннях на початку ділянки. Ці формули можна записати коротко у вигляді рівності
| , | (13.140) |
де — матриця переходу від початку до кінця ділянки.
| (13.141)
|
–– матриця-стовпець часток. рішень;
| (13.142) |
де — функції Крилова;
— параметри, що відповідають розглянутій ділянці;
— параметри, що відповідають першій ділянці оболонки.
З’ясуємо, як змінюються компоненти вектора при переході від -ої до ділянки . Внаслідок безперервності функцій і перші два компоненти мають те саме значення наприкінці попереднього й на початку наступної ділянки. Третій і четвертий компоненти можуть стрибкоподібно змінюватися за рахунок зовнішніх навантажень, прикладених на границі між ділянками, а також внаслідок зміни радіуса серединної поверхні
де й –– додаткові згинальний момент і поперечна сила, прикладені на початку ділянки ;
і –– силові фактори наприкінці попередньої, тобто -ої ділянки;
і –– радіуси -oї і ділянки .
Підкреслений доданок враховує додатковий згинальний момент, створюваний осьовою силою на плечі, рівному різниці радіусів ділянок i і (i + 1).
Таким чином, при переході від однієї ділянки до іншого компоненти вектора стану
| . | (13.143) |
Очевидно, що якби в початковому перетині першої ділянки вектор X був повністю відомий, то, користуючись рівностями (13.53) — (13.56) і переходячи від ділянки до ділянки, можна було б визначити значення вектора стану у всіх перетинах циліндра.
У дійсності, однак, бувають відомі тільки два компоненти вектора X у початковій точці, а інші два повинні бути визначені по граничних умовах на протилежному краю циліндра. У зв’язку із цим доцільно скористатися способом трьох розрахунків. Вектор X представимо у вигляді суми трьох доданків;
| , | (13.144) |
де — значення вектора X першого, другого й третього розрахунків; — невизначені коефіцієнти.
Перший і другий розрахунки виконуються без врахування заданого навантаження. У першому розрахунку один з невідомих параметрів приймається за одиницю, а інші – за нуль. Аналогічно в другому розрахунку – другий невідомий початковий параметр приймається за одиницю, а інші – за нуль. Третій розрахунок виконується з урахуванням заданого навантаження, але при нульових значеннях невідомих початкових параметрів.
Після того, як всі три розрахунки будуть виконані, варто обчислити значення компонентів вектора X при та із граничних умов визначити коефіцієнти .
Якщо циліндр має поряд з короткими також довгу ділянку, що задовольняє умові (13.113), то розрахунок замикається на цій ділянці. Відповідно до рівнянь (13.114) і (13.115), компоненти вектора X на початку довгої ділянки зв’язані наступними співвідношеннями:
| (13.145) |
де k — індекс, що відповідає довгій ділянці.
Підставивши в ці співвідношення компоненту сумарного вектора , одержимо систему двох рівнянь, з яких визначаться й .
Приклад 13.16. Визначити напруження й деформації в шпинделі верстата (рис. 13.48, а), що виникають при затягуванні гайки підшипника. Дано: .
| а | б |
Рис. 13.48. До прикладу 13.16
Розділимо шпиндель на три коротких ділянки і одну довгу, як показано на рис. 13.48, б.
Незважаючи на те, що циліндр у цьому випадку товстостінний, будемо користуватися теорією тонкостінних циліндричних оболонок.
Обчислимо згинальну жорсткість і параметри й на кожній ділянці.
Для першої і другої ділянок: ;
Для третьої ділянки:
Для четвертої (довгої) ділянки:
Випишемо значення функцій Крилова:
Граничні умови на початку першої ділянки: Переміщення й невідомі.
Матриці переходу від початку до кінця ділянки (13.141) для першої і другої ділянок однакові:
Матриця переходу для третьої ділянки
Виконаємо перший розрахунок. Вектор стану в початковій точці
Наприкінці першої і на початку другої ділянки
Наприкінці другої ділянки
На початку третьої ділянки
Наприкінці третьої і на початку четвертої ділянки
Аналогічно виконується другий розрахунок
У третьому розрахунку враховується задане навантаження; вектор стану в початковій точці приймається рівним нулю.
Для першої ділянки
Для другої ділянки
Для третьої ділянки
На початку четвертої ділянки
Сумарні компоненти вектора стану на початку четвертої ділянки
Оскільки четверта ділянка —і довга, ці компоненти повинні задовольняти співвідношенням (13.145). Вирішивши систему двох рівнянь, знайдемо коефіцієнти.
Компоненти сумарного вектора стану визначаються відповідно до рівності (13.144). Значення радіального й кутового переміщень на початку першої ділянки
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
