.

Розрахунок циліндричних оболонок по напівбезмоментній теорії при відсутності поверхневого навантаження (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
160 1063
Скачать документ

Розрахунок циліндричних оболонок по напівбезмоментній теорії при відсутності поверхневого навантаження

При навантажені циліндричної оболонки силами, прикладеними по торцях або в деякому проміжному перетині, що становить поверхневе навантаження  дорівнюють нулю. У цьому випадку  і рівняння (13.206) переходить в однорідне:

(13.209)

Задане навантаження безпосередньо в рівняння не входять, а враховується тільки в граничних умовах або в умовах сполучення ділянок.

Обмежимося випадком, коли навантаження й деформація оболонки симетричні щодо площини  = 0. Тоді рішення рівняння (13.209) варто шукати у вигляді ряду синусів (при симетричній деформації функція  назад симетрична)

(13.210)

де  — функція тільки від .

Підставимо ряд (13.210) у рівняння (13.209):

Це рівняння розпадається на нескінченне число звичайних диференційних рівнянь виду

(13.211)

де

(13.212)

або для оболонки з однорідного матеріалу без ребер

(13.213)

Рівняння (13.211) аналогічно рівнянню згину балки на пружній основі або рівнянню осесиметричної деформації тонкостінної циліндричної оболонки.

Інтеграл рівняння (13.211) може бути представлений у наступному виді:

(13.214)

де

(13.215)

або у функціях А. Н. Крилова:

(13.216)

Постійні інтегрування  визначають у кожному окремому випадку по граничних умовах на торцях. Для досить довгих оболонок, що задовольняють умові

  або (13.217)

рішення доцільно представити у вигляді

(13.218)

Значення функцій, що входять у рівняння (13.218), дані в табл. 13.1. Постійні інтегрування  й  знаходять по граничних умовах при .

При визначенні функції  для оболонок середньої довжини при малих значеннях  необхідно користуватися формулами (13.214) і (13.216) із чотирма постійними інтегрування, а при більших значеннях  можна користуватися більш простою формулою (13.218) із двома постійними інтегрування.

Варто звернути увагу на те, що при  параметр , обумовлений по формулі (13.212), звертається в нуль і рівняння (13.211) спрощується:

(13.219)

Рівняння (13.219) являє собою диференціальне рівняння пружної лінії циліндра з недеформівним поперечним перерізом.

Інтеграл цього рівняння виражається через статечні функції

(13.220)

де   — постійні інтегрування.

Зупинимося більш докладно на питанні про граничні умови. Граничні умови можуть бути геометричні або силові. Геометричні умови повинні бути накладені на зсуви  й , а силові — на зусилля  й  на торці.

Іноді, однак, замість дотичного зсуву  на торці може бути задане радіальний зсув , а замість дотичної сили, що  зрушує, – радіальне  навантаження .

У цьому випадку по радіальному переміщенню  варто знайти дотичне переміщення , а по радіальному навантаженню  — еквівалентне дотичне зусилля .

Радіальне переміщення  повинно бути задане так, щоб задовольнялася умова нерозтяжності оболонки в окружному напрямку. При дотриманні цієї умови переміщення  й  зв’язані залежністю (13.192), з якої виходить:

(13.221)

Для перетворення радіального навантаження  (рис. 13.58, а) в еквівалентне дотичне навантаження  відітнемо від оболонки вузьке кільце (рис. 13.58, б).

а б

Рис. 13.58. До перетворення радіального навантаження

Деформація нерозтяжного кільця повинна задовольняти диференціальному рівнянню (9.52). Розглядаючи праву частину цього рівняння, можна помітити, що деформація кільця не зміниться, якщо радіальне навантаження  замінити дотичним навантаженням

Навантаження , у свою чергу, варто дорівняти , тобто силі, що зрушує, на краю оболонки. Таким чином,

(13.222)

Рівняння (13.222) використовується для перетворення радіального навантаження в дотичне.

Якщо, наприклад, навантаження  буде задане у вигляді ряду

то еквівалентне їй дотичне навантаження буде

(13.223)

Відзначимо, що постійні інтегрування у виразі (13.216) пропорційні чотирьом початковим параметрам: , , , .

Залежності між постійними інтегрування і початкових параметрів неважко одержати на підставі рівностей (13.197), (13.201), (13.204) і (13.216) з урахуванням властивостей функцій Крилова:

(13.224)

Приклад. Оболонка навантажена двома осьовими силами Р, прикладеними діаметрально протилежно на верхньому торці, і рівномірним навантаженням   —  на нижньому торці (рис. 13.59, а).

а б
в

Рис. 13.59. До прикладу 13.20

Розкладемо навантаження, що діє на верхній торець, у ряд Фур’є:

У цьому випадку варто взяти тільки парні значення , тому що навантаження симетричне також  щодо  площини   = 90°.

Перший доданок відповідає рівномірного складового навантаження, що разом з навантаженням, прикладеної до нижнього торця, викликає рівномірне стискання  циліндра  (рис. 13.59, б).

Другий і наступний члени ряду (при = 2, 4, 6,…) відповідають із навантаженням виду

прикладеним до верхнього торця (рис. 13.59, а). Так як навантаження симетричне щодо площини  = 0 і оболонка коротка  то вираз функцій  і  варто взяти по формулах (13.210) і (13.216), Запишемо рівняння граничних умов:

при   ;

при

У цьому випадку всі чотири умови – силові. Згідно із цими умовами, на підставі рівнянь (13.201), (13.204) і (13.224)

 

де  — параметр, обумовлений по формулі (13.213). Через  позначена величина

Обчисливши , при = 2, 4, 6, …, неважко по формулі (13.220) знайти значення функції  й по формулах (13.201) – (13.205) – значення внутрішніх зусиль.

Варто помітити, що в точках додатка зосереджених сил ряди розходяться, і осьове зусилля  звертається в нескінченність. У дійсності ж це зусилля звичайно, так як сили Р фактично прикладені не в точці, а розподілені по деякій дузі.

Приклад. Досліджувати деформації й напруження в циліндричній оболонці, нижній край якої жорстко закріплений так, що  й  (рис. 13.60). До верхнього торця прикладено радіальне навантаження, розподілене відповідно до закону:

При

при

Навантаження  вважається позитивним, якщо воно спрямовано від центра.

Рис. 13.60. До прикладу 13.21

Рішення.

Представимо навантаження у вигляді ряду

Для визначення  проынтегрируэмо праву й ліву частини рівності від 0 до 360°:

звідки

Для визначення  помножимо праву й ліву частини рівності на  і також проінтегрируємо від 0 до 360°:

При

 

звідки

При

 

звідки

Таким чином, для заданого навантаження одержуємо наступний ряд:

Перший член ряду відповідає рівномірно розподіленому радіальному навантаженню. Деформації і напруження від цієї складової обчислюють по формулах теорії осесиметричної деформацій циліндричних оболонок. Ці напруження і деформації порівняно малі і при видаленні від верхнього краю швидко загасають.

Знайдемо деформації й напруження від складової навантаження, що відповідають іншим членам ряду.

Так як радіальні сили, прикладені до торця, не можуть бути враховані в граничних умовах безпосередньо, їх потрібно замінити еквівалентними силами, що зрушують, певними по (13.223):

Позитивний напрямок зусилля  протилежний позитивному напрямку відліку кута .

Розглянемо складову навантаження, що відповідає  = 1. Параметр  у цьому випадку дорівнює нулю і рішенням диференціального рівняння, відповідно до рівності (13.220), буде вираз

Для визначення постійних використовуємо граничні умови:

при

при

Ці умови з урахуванням залежностей (13.201), (13.204), (13.197) приводять до системи рівнянь, рішення якої дає:

 

Отже,

Неважко перевірити, що функція  точно відповідає рівнянню вигнутої осі оболонки як консольної балки з недеформівним поперечним перерізом, навантаженим поперечною силою  рівного рівнодіючого заданого розподіленого навантаження.

Знайдемо функцію , що відповідає  складового навантаження. Задамося розмірами оболонки: .. Для декількох значень  обчислимо параметри  й . Результати обчислень наступні:

2 0,416
4 1,86
6 4,26
8 7,62

 

Так як при = 2 і = 4,  < 3, то для обчислення  варто застосовувати формулу (13.216) із чотирма постійними інтегрування. При = 6 і  = 8,  > 3 і можна застосувати більш просту формулу (13.218); однак для однаковості будемо користуватися формулою (13.216) при всіх значеннях .

Вибравши початок координат на верхньому краї оболонки, запишемо рівняння граничних умов:

при

при

На підставі цих умов з урахуванням залежностей (13.197), (13.201), (13.204), (13.220) і (13.216):

Замінивши функції Крилова їх виразами, після нескладних перетворень одержимо

Радіальне переміщення  на верхньому торці відповідно до формули (13.196):

Осьове зусилля  в нижнього торця відповідно до формули (13.201):

Результати обчислень  і  при декількох значеннях  наступні:

0 90 180 0 90 180
1

2

4

6

8

 

-135,2 «»

16,3 «»

-3,71 «»

60,0 «»

-8,13 «»

1,85 «»

-55,6 «»

8,14 «»

-1,85 «»

-3420

-3100

167

-49

15

0

3100

167

49

15

3420

-3100

167

-49

15

1

1,42

-0,27

0

0

0

-1,42

-0,27

0

0

-1

1,42

-0,27

0

0

-6380 3330 450 2,15 -1,69 0,15

 

За отриманим даними побудовані епюри переміщення  при  й зусилля  при  (мал. 13.61).

Рис. 13.61. Епюри переміщення  й зусилля

При побудові епюри  переміщення, що відповідає осесиметричній складового навантаження, не враховувалася.

Отримані результати показують, що перекручування форми окружності біля верхнього торця значне. Напруження в небезпечній точці в затисненні в 2,15 рази більше знайденого по елементарній теорії згинання бруса (значення переміщення і осьового посилення, обчислені без обліку перекручування форми поперечного переріза, зазначені в дужках).

Приклад. Циліндрична оболонка, нерухомо закріплена по нижньому краї, посилена по верхньому краю пружним кільцем (рис. 13.62). Обчислити деформації оболонки й кільця, що виникають при навантаженні радіальною силою Р = 1000 Н, прикладеної до кільця. Дано:  матеріал оболонки і кільця — дюралюміній;

Рішення.

Подібна задача була розглянута в розділі 9 (приклад 9.6). При рішенні передбачалося, що кільце абсолютно жорстке і що напружений стан оболонки – безмоментний.

Вирішимо цю задачу з урахуванням деформації кільця, причому, для порівняння визначимо деформації оболонки як за полубезмоментній теорії, так і по безмоментній теорії. Спочатку розглянемо перший варіант рішення.

Рис. 13.62. Наприклад 13.22

Відокремивши кільце від оболонки (рис. 13.63), прикладемо в перетині силу, що  зрушує (нормальна  сила дорівнює нулю, тому що кільце не робить опору осьовим зсувам краю оболонки).

Рис. 13.63. Визначення деформації за полубезмоментною теорією

Силу Р розкладемо в ряд; у результаті одержимо еквівалентне радіальне навантаження

Складова навантаження, що відповідає першому члену ряду, викликає рівномірне розтягання кільця і осесиметричну деформацію оболонки. Цією складовою надалі зневажаємо.

Наступний член ряду ( = 1) відповідає згинальній деформації оболонки без перекручування форми її поперечного переріза, тобто без зміни форми окружності кільця. Переміщення і напруження від цієї складової визначаються так, як це було показано в прикладі 13.21, тобто фактично по формулах елементарної теорії згинання брусу. У даному прикладі

при

 

де  й  — момент інерції й момент опору перетину  оболонки при вигині.

Складова прогину  на верхньому торці (при  = 1) фактично буде більше обчисленої через вплив деформацій зрушення. При = 1

 

 

При заданих числових значеннях (рис. 13.62) переміщення торця за рахунок згинання  і за рахунок зрушення .

Результати обчислень показують, що зневага деформаціями зрушення при визначенні прогину приводить до істотної погрішності.

Перейдемо до обчислення переміщень і напружень, що відповідають -му складовому навантаження:

Так як довжина оболонки невелика, варто застосувати вираз функції  (13.216) із чотирма постійними інтегрування. Запишемо граничні умови на верхньому торці:

при     ,

отже, на підставі третього рівняння (13.224),

при    ( — інтенсивність -го складового сили взаємодії оболонки з кільцем).

Із другої умови на підставі четвертого рівняння (13.224)  виходить

Ще дві граничних умови задані на нижньому торці:

при    або

при     або

звідки

Замінивши функції Крилова їх виразами, після нескладних перетворень одержимо

Для визначення невідомої величини, що залишилася , необхідно використовувати рівняння спільності деформацій оболонки і кільця. Запишемо вираз функції  при  для оболонки

або

Це рівняння містить дві невідомі величини:  і  Друге рівняння з тими ж невідомими необхідно одержати, розглядаючи деформації кільця.

Диференційне рівняння пружної лінії кругового кільця при плоскому згинанні з урахуванням залежності (13.196) запишемо в наступному вигляді:

де   — момент поперечного переріза  кільця;

— дотична складова   розподіленого навантаження; у цьому випадку

;

— нормальна складова розподіленого навантаження; у цьому випадку

.

Після підстановки значень  і  й заміни функції  виразом

,

рівняння пружної лінії кільця приймає вид

або

Останнє рівняння разом з отриманим раніше утворить систему, двох рівнянь із двома невідомими:   і .

Результати рішення цієї системи при деяких значеннях  наступні:

2

3

4

5

1,04

2,55

4,65

7,37

0,832

2,04

3,72

5,9

26

18,4

16,1

14,06

-10,72

-3,4

-0,887

-0,305

 

Радіальні переміщення на верхньому краї оболонки відповідно до рівняння (13.196):

або

Осьові зусилля й напруження можуть бути визначені по рівняннях (13.201), (13.208).

Згинальний момент у кільці, у перетині, де прикладена сила Р,

Числові значення цих величин наступні:

1

2

3

4

5

-6,42

-0,493

-0,0178

-0,0611

1,96

0,337

0,089

0,0304

-1,072

-0,341

-0,0891

-0,0304

10,2 -63,7

-176

-12,2

-1,1

0

0

387

490

320

220

 

Епюри  й  показані на мал. 13.12.

Рис. 13.64. Епюри  й  за полубезмоментній теорії

Згинальний момент у небезпечному перерізі кільця

відповідне максимальне напруження

Приведемо рішення цієї ж задачі по безмоментній теорії.  Вище було отримано наступний вираз функції  для циліндричної оболонки, закріпленої по нижньому краю і навантаженою по верхньому краю силою, що зрушує :

При    й  цей вираз приймає вид

Рішення останнього рівняння разом з рівнянням деформації кільця при заданих числових величинах приводить до наступних результатів:

1

2

3

4

5

-2,83

-13,22

-5,01

-1,17

-0,369

15,95

24,8

4,45

0,60

0,122

2,83

26,44

15,03

4,68

1,85

-63,7

-198

-53,4

-9,6

-2,45

 

Епюри  й , побудовані на підставі рішення по безмоментній теорії, наведені на рис. 13.65.

Рис. 13.65. Епюри  й  по безмоментній теорії

Порівняння епюр показує, що різниця між рішеннями по безмоментній теорії та полубезмоментній теорії в цьому випадку порівняно невелика. Це пояснюється тим, що напружений стан розглянутої оболонки близький до безмоментного. Збіг результатів буде кращим, якщо в рішенні за полубезмоментній теорії врахувати переміщення за рахунок зрушень, викликаних поперечною силою.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020