Розрахунок орбітальної тросової системи (реферат)

Розрахунок орбітальної тросової системи

Розглянемо систему, що складається із двох супутників, з’єднаних довгим тросом. На супутники і трос діють гравітаційні, відцентрові і аеродинамічні сили й сили тиску світла. Геометричні параметри і зусилля в тросі розраховують за допомогою рівнянь, записаних в орбітальній системі координат. Дві маси  й  зосереджені в точках і з’єднані тросом, що має розподілену масу m (рис. 10.11).

Рис. 10.11. Тросова система

Будемо вважати, що рух системи стаціонарний, тобто обидві маси і трос роблять рівномірне кругове обертання навколо центра Землі. Розглянемо плоский рух всього зв’язки.

На рис. 10.12 зображений елемент троса , сила натягу якого в точці A дорівнює T, а в точці . Нормалі до кривої в цих точках утворять кут . Кут між вертикальною віссю у і нормаллю в точці A дорівнює . Точки A і B вилучені від центра Землі відповідно на R і . Кут між цими радіусами дорівнює ,  — кут між дотичними в точці A до лінії троса і до окружності радіуса R;  — нормальна, а  — дотична складових гравітаційних, відцентрових і аеродинамічних сил.

Рис. 10.12. Елемент тросової системи

Сума проекцій всіх сил на нормаль до троса дорівнює

Із трикутника ABC треба

Довжина дуги AC, рівна ds, може бути виражена так:

З огляду на, що , одержимо співвідношення

Розділивши далі ліву і праву частини на  і використовуючи співвідношення (10.38), прийдемо до рівняння рівноваги, вираженому через кут між дотичними до окружності і до троса,

Друге рівняння рівноваги елемента троса являє собою суму проекцій сил на дотичну

У рівняння (10.40) і (10.41) входять складові розподілених навантажень, що діють на трос. Кожна з них складається із гравітаційних , інерційних , і сумарних аеродинамічних сил і сил тиску світла . При русі по круговій орбіті гравітаційні й інерційні навантаження спрямовані уздовж радіуса до центра гравітації. Проекції гравітаційної сили рівні

Інерційні сили, що діють на трос, можна розкласти на компоненти

Повні складові розподілених сил, що діють на трос, з урахуванням аеродинамічного навантаження і тиску світла  й  рівні

Рівняння рівноваги троса (10.40), (10.41) разом з геометричним співвідношенням (10.39) при стаціонарному орбітальному русі приймають вид

де  — гравітаційна постійна ,  — кутова швидкість стаціонарного орбітального обертання зв’язки.

Кутом  і радіусом R визначається положення будь-якої точки троса в просторі. Їхнього значення, а також зусилля T можуть бути визначені інтегруванням системи (10.43). Для початку розрахунку необхідно знати параметри руху одного із супутників. Знаючи, наприклад, радіус орбіти  силу аеродинамічного опору супутника  і його масу , можна скласти рівняння рівноваги відповідно до рис. 10.13

Ця система може бути наведена до одного рівняння

При заданих кутовій швидкості , висоті орбіти , а також масі супутника  і силі опору  з (10.44) може бути визначений кут , що становить із місцевим обрієм сила  (рис. 10.13). Це значення  є однією з початкових умов задачі.

Рис. 10.13. До визначення кута

Ще одна умова — значення зусилля в тросі  при . Воно знаходиться з рівняння

Значення кута , радіуса R і сили T у всіх точках троса визначаються з рівнянь (10.43) шляхом їхній чисельного інтегрування. Наприкінці ділянки інтегрування, де трос з’єднується із другим супутником, повинні бути виконані наступні умови рівноваги (рис. 10.14):

де  й  — значення кута й зусилля, отримані шляхом інтегрування системи рівнянь (10.43), вони вважаються відомими.

Рис. 10.14. Значення кута , радіуса R і сили T наприкінці ділянки

Зі співвідношень (10.45) можуть бути знайдені тяга ракетного двигуна P та її напрямок (кут ). При дотриманні умов (10.45) рух всього зв’язку буде стаціонарним.

Наближене аналітичне рішення задачі про стаціонарний рух орбітальної системи, що складається із двох тіл, з’єднаних тросом, можна одержати в припущенні про малість аеродинамічних сил і тиску світла, що діють на трос. Система рівнянь (10.43) при цьому спрощується. Думаючи, що , за допомогою другого і третього рівнянь вдається визначити силу T

Константа  буде знайдена нижче. Помножимо друге рівняння (10.43) на , а перше — на  і віднімемо одне з іншого. У результаті одержимо співвідношення

яке є повною похідною від добутку

Проінтегрував цю залежність, одержимо

Формули (10.46), (10.47) визначають положення троса при плоскому русі по орбіті. Якщо на одному з кінців троса відомі кут  і зусилля

те константи в рівняннях (10.46), (10.47) будуть наступними:

У будь-якій точці троса, одна з координат якої R, зусилля натягу дорівнює

Ця точка має кутову координату

Положення точки по довжині троса (довжину дуги ) можна знайти шляхом чисельного інтегрування виразу

Якщо довжина троса відома, то з отриманих залежностей можуть бути знайдені значення  й . Система рівнянь (10.45), так само як і при чисельному розрахунку, дозволяє знайти тягу двигуна P і кут , що забезпечують стаціонарний рух зв’язки.

Таким чином, розглянутий розрахунок руху твердих тіл і троса по орбіті зводиться до рішення задачі Коші й при заданих параметрах одного з тіл дозволяє визначити конфігурацію троса, зусилля в ньому і параметри другого тіла.

Формулювання задач розрахунку тросових систем може бути й інший. Системи в ряді випадків виявляються значно більш складними. Але наведені залежності і послідовність розрахунку можуть бути основою для аналізу самих різних нових орбітальних тросових систем.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter