Розрахунок нерозрізних балок МГЕ й МКЕ
Розглянемо приклад динамічного розрахунку нерозрізної балки,
розрахункова схема якої широко використовується в машинобудуванні й
будівництві. До цієї схеми приводяться різні вали, осі, балки, ротори
турбін, осі гребних гвинтів, карданні вали й т.п.
Приклад Визначити частоти власних коливань і напружено-деформований стан
нерозрізної балки при заданому динамічному навантаженні (рис. 3.10).
1. Нумеруємо вузли й позначаємо стрілками початок і кінець всіх
елементів.
. Використовуємо рівняння (3.10).
.
.
балки прийме вигляд
1 .
2 -2
3 -1
4 -1
5
6 -0,5
7 -1
8 -1
9
10 -1
11
12 -1
Рівняння МГЕ даної балки запишеться в такий спосіб:
149,415 9
Для пошуку частот власних коливань балки користуємося програмною мовою
Pascal у Додатку А.
в новому порядку, як показано цифрами праворуч, досліджуємо поводження
її визначника. Частоти власних коливань балки наступні:
;
; …
По МКЕ з вікового частотного рівняння визначені дві частоти:
.
Близькими виявилися тільки перші частоти. Відомо, що по МКЕ можна
визначити тільки наближений спектр частот, тому що в цьому методі пружна
система з нескінченним числом ступенів свободи заміняється системою з
кінцевим числом ступенів свободи. У цьому й іншому прикладах показано,
що МКЕ задовільно точно визначає тільки першу частоту, і підвищення
точності розрахунку досягається дробленням сітки кінцевих елементів з
відповідним підвищенням порядку системи розв’язних рівнянь. Дійсні
частоти менші частот, визначених по МГЕ, але точність спектра досить
висока. Нижче, у главі «Стійкість» буде показано, що, наприклад, перша
частота по МГЕ для систем з нерухомими вузлами має погрішність не більше
2,0 %.
4. Виконуємо розрахунок нерозрізної балки на змушене динамічне
навантаження із частотою
вводилися за допомогою операторів присвоювання.
Таблиця 3.3
, тим ближче значення динамічних параметрів балки до параметрів
статичного розрахунку.
Z
\
?
o
\
o
j’
?Fs
?Fs
$
&
*
>
–
”
&
(
*
< >
@
B
D
F
H
J
L
N
R
T
V
X
\
^
`
p
r
t
@
B
F
P
R
V
Z
\
`
r
???$??N?r
t
?Fs
t
v
z
~
?
„
?
?
c
?Fs
c
¤
?
¬
®
?
¶
?
1/4
I
?
O
Oe
U
Ue
a
ae
ae
e
ue
???$??N?Oe
O
Ue
TH
a
a
ae
e
e
u
ue
th
-ue
th
?Fs
th
?Fs
?Fs
?Fs
?Fs
j
j
jE
обчислюємо параметри стану балки у внутрішніх точках. Результати
обчислень зведені в табл. 3.4, за даними якої побудовані епюри v(x),
?(x), M(x) і Q(x) (рис. 3.10).
Таблиця 3.4
Глобальна координата
х, м Локальна координата х, м Статичні й кінематичні параметри
Прогин
0,0 0,0 0,0 0,0 -47,1286 41,7043
1,5 1,5 16,0474 15,2676 1,8974 23,6292
3,0 3,0 32,5189 3,9770 23,6314 5,3152
4,5 4,5 24,9906 -13,2867 17,8093 -13,0625
6,0 6,0 0,0 -15,8769 -15,4413 -31,2194
10,5962
7,0 1,0 -9,9227 -5,7359 -4,8366 10,6198
8,0 2,0 -15,0122 -6,2168 5,8068 10,6704
-29,31297
9,0 3,0 -19,2469 2,6299 -23,4881 -29,2570
10,0 4,0 0,0 40,7349 -52,7127 -29,2050
50,6045
11,5 1,5 76,5325 51,8444 22,9755 50,1546
13,0 3,0 127,3474 6,6158 97,3025 49,3454
Рис. 3.10
Представимо розрахунок цієї ж балки по МКЕ.
Приклад 3.7. Розрахунок динамічних параметрів виконуємо по алгоритму
п.1.6.
1. Аналіз розрахункової схеми й розбивка системи на кінцеві елементи
(рис. 3.11).
Рис. 3.11
Ступінь кінематичної невизначеності
2. Вибір основної системи (рис. 3.11. в)
3. Розбиваємо систему на кінцеві елементи (рис. 3.11, с).
4. Визначення реакцій окремих стержнів від вневузлових впливів (рис.
3.12).
Рис. 3.12
,
,
,
,
,
,
.
5. Побудова вихідних матриць.
5.1 Матриці жорсткості окремих елементів, побудовані по матрицях
жорсткості окремих стержнів залежно від типу обпирання стержнів.
.
5.2 Картини деформацій і матриці перетворення переміщень до глобальної
системи координат (рис. 3.13).
0
0
1
0
0
2
0
0
3
1
0
4
0
0
1
1
0
2
0
0
3
0
1
4
0
0
1
0
0
2
0
1
3
Рис. 3.13
5.3 Матриці еквівалентних мас
6. Послідовність матричних операцій
6.1 Матриці жорсткості окремих елементів у глобальній системі координат
6.2 Матриця жорсткості всієї системи
Перевірка
Рис.3.14
6.3 Матриці еквівалентних мас у глобальній системі координат
.
6.4 Матриця еквівалентних мас всієї системи
Перевірка
Рис. 3.15
;
;
6.5 Складання характеристичного рівняння.
6.5.1 Звернення матриці жорсткості.
,
Перевірка звернення.
6.5.2 Характеристичне рівняння.
.
6.5.3 Корені характеристичного рівняння.
.
6.5.4 Частоти власних коливань:
;
.
.
.
6.6.1 Послідовність одержання матриць.
6.6.2 Власний вектор.
.
6.6.3 Нормування вектора й форми коливань.
1-я форма
2-я форма
Рис. 3.16
6.7 Динамічні матриці жорсткості окремих елементів у локальних системах
координат.
,
.
6.8 Динамічна матриця жорсткості всієї системи.
Перевірка.
6.9 Рівняння для визначення переміщень.
6.9.1 Звернення динамічної матриці жорсткості всієї системи.
Перевірка.
6.9.2 Аргумент частотних коефіцієнтів.
6.9.3 Реакції окремих стержнів при поправочних коефіцієнтах.
Поправочні функції.
;
Матриці реакцій від вневузлових впливів (рис. 3.17).
Рис. 3.17
.
6.9.4 Вектори реакцій зв’язків від амплітудного вузлового динамічного
навантаження (рис. 3.18).
Рис. 3.18
6.9.5 Розв’язання системи рівнянь.
.
6.10 Переміщення кінцевих перерізів окремих елементів
6.11 Реакції (поперечні сили й згинальні моменти) у розрахункових
перерізах.
7. Розрахункові епюри згинальних моментів.
Рис. 3.19
Рис. 3.20
і чисельних результатів по МГЕ (рис. 3.10) і МКЕ (рис. 3.20) показує,
що при однаковій сітці дискретизації балки точність і вірогідність
динамічного розрахунку в МГЕ значно вища.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
