Розрахунок на удар при осьовій дії навантаження
) може бути обчислена по формулі
(16.1)
де Q — вага падаючого вантажу;
g — прискорення вільного падіння;
— прискорення падаючого вантажу після зіткнення його з перешкодою.
по формулі (16.1) проблематичне, так як невідомо час зіткнення, тобто
час, протягом якого швидкість тіла, що рухається, знижується від свого
максимального значення в момент зіткнення з наголошеним тілом (початок
удару) до нуля після деформації останнього (кінець удару). У зв’язку із
зазначеними труднощами, визначаючи напруження в елементах пружних
систем, викликувані дією ударних навантажень (динамічні напруження), в
інженерній практиці звичайно користуються так званим енергетичним
методом, заснованим на законі збереження енергії. Відповідно до цього
методу вважають, що при зіткненні тіл, що рухаються, зменшення запасу
кінетичної енергії їх дорівнює збільшенню потенційної енергії деформації
пружних тел які ударяються.
і деяким вантажем Q. Вважаємо при цьому, що удар непружний у тому
розумінні, що при зіткненні падаючий вантаж не відскакує від стрижня, а
рухається разом з ним, і, отже, у стрижні не виникають пружні хвилі.
Крім того, дана система володіє одним ступенем волі.
Розглянемо два випадки:
;
(рис. 16.1,б).
а б
Рис. 16.1. Статичне навантаження й навантаження ударом
Зміна деформації при ударній дії навантаження Q у порівнянні з
деформацією при статичному додатку того ж навантаження може бути
охарактеризовано коефіцієнтом динамічності
(16.2)
звідки динамічну деформацію через статичну можна виразити формулою
(16.3)
З огляду на лінійний зв’язок між напруженням і деформацією, а також
приймаючи однаковими модулі пружності при статичній і ударній дії
навантаження, що з достатнім ступенем точності підтверджується
експериментом, за аналогією з останньою формулою можна встановити
зв’язок між статичною й динамічною напруженнями:
(16.4)
де
— (16.5)
напруження, що виникає в стрижні при стисканні силою, рівної ваги
падаючого вантажу.
. При цьому будемо виходити із загальноприйнятого в теорії удару
допущення, що зв’язок між зусиллями й деформаціями зберігається однієї і
тієї ж як при статичному, так і при динамічному навантаженні, тобто
);
— динамічне навантаження, що представляє собою силу інерції тіла, що
вдаряє, у перший момент його зіткнення зі стрижнем.
Зміна кінетичної енергії падаючого вантажу чисельно дорівнює роботі,
зробленої їм при падінні і деформуванні стрижня:
(16.8)
а потенційну енергію деформації пружного тіла при ударі, накопичену за
рахунок зменшення потенційної енергії падаючого тіла, з огляду на вираз
(16.7), що встановлює зв’язок між зусиллям і деформацією, можна
представити формулою
(16.9)
Користуючись законом збереження енергії і зневажаючи втратами енергії,
викликуваними місцевими пластичними деформаціями при зіткненні тіл, а
також інерцією маси вдаряємого стрижня, можна записати
На підставі виразів (16.8) і (16.9)
, рівняння (16.10) можна представити так:
Звідси можна визначити динамічну деформацію:
(16.11)
Оскільки знак «мінус» у цій формулі не відповідає фізичній стороні
розглянутої задачі, варто зберегти знак «плюс».
Записавши формулу (16.11) у вигляді
(16.12)
і зіставивши її з формулою (16.3), знаходимо вираз для коефіцієнта
динамічності:
— швидкість падаючого вантажу на початку удару), коефіцієнт динамічності
можна представити формулою
(16.14)
Якщо врахувати, що
можна також записати і так:
— кінетична енергія падаючого вантажу до моменту зіткнення;
— потенційна енергія деформації пружного стрижня, що піддається удару,
яка накопичується в ньому при статичній дії сили, рівної вазі вантажу,
що вдаряє, Q, тобто
, то в більшості випадків визначення коефіцієнта динамічності у виразах
під коренем одиницею в порівнянні із другим доданком можна зневажити.
Тоді на підставі виразу (16.13) одержимо:
(16.17)
або, відповідно до формули (16.15),
(16.18)
Маючи вираз (16.13) для коефіцієнта динамічності, напруження при ударі
на підставі залежності (16.4) визначимо формулою
(16.19)
або
(16.20)
Аналогічно визначаємо і зусилля при ударі:
. Так, якщо
то помилка розрахунку не перевищує 10 %. Облік маси вдареної конструкції
розширює межі застосування наближеної теорії.
З аналізу формул (16.19) і (16.20) видно, що при рівномірно розподілених
напруженнях, однакових у всіх перетинах стрижня, величина динамічних
напружень залежить не тільки від площі A його поперечного переріза, як
це має місце у випадку дії статичного навантаження в статично визначених
системах, але й від довжини l і модуля пружності E матеріалу стрижня,
тобто можна сказати, що динамічні напруження в стрижні при ударі
залежать як від обсягу, так і від якості його матеріалу. При цьому, чим
більше обсяг пружного стрижня, що піддається удару (чим більше
«енергоємність» стрижня), тим менше динамічні напруження, що виникають у
ньому, а чим більше модуль пружності матеріалу стрижня, тим динамічні
напруження більше.
Дотепер передбачалося, що стрижні по всій довжині мають однакові
перетини. Саме для таких стрижнів справедливо все сказане про роль
обсягу стрижня при оцінці динамічних напружень.
.
Таким чином, зниження напружень при ударі може бути досягнуто
збільшенням обсягу шляхом знищення виточення, тобто вирівнюванням
напружень по різних перетинах, або зменшенням обсягу матеріалу за
рахунок зменшення площі стовщеної частини, що призводить до збільшення
деформативності.
Сказане зручно проілюструвати на прикладі визначення максимальних
динамічних напружень, що виникають у трьох типах стрижнів при
поздовжньому ударі вантажем Q, що падає з однакової висоти H.
а б в
Рис. 16.2. До визначення напружень у трьох типах стрижнів при ударі
?????????????????
Нехай співвідношення між окремими розмірами стрижнів наступні:
Для визначення напружень у кожному із стрижнів скористаємося загальною
формулою
де
n — число щаблів.
Для східчастого стрижня (рис. 16.2, а)
Для стрижня постійного перетину з розмірами стовщеної частини
східчастого стрижня (рис. 16.2, б)
Для стрижня постійного перетину, рівного мінімальному перетину
східчастого стрижня (рис. 16.2, в), маємо
Тоді співвідношення між деформаціями окремих стрижнів, мабуть, будуть
наступними:
можна допустити, вираз для коефіцієнта динамічності приблизно можна
записати у вигляді
Користуючись цією формулою й з огляду на вираз (16.22), одержимо
співвідношення між коефіцієнтами динамічності для розглянутих випадків:
(16.23)
Виходячи з вираз
і з огляду на співвідношення (16.23), одержимо
(16.24)
Припустимо, наприклад, що коефіцієнти мають наступні числові значення:
Тоді по формулі (16.24) знайдемо наступне співвідношення:
Таким чином, бачимо, що найбільше напруження виникає в стрижні з
виточенням (рис. 16.2,а), а найменше – у стрижні постійного
максимального перетину (рис. 16.2,б). У стрижні ж мінімального перетину,
постійного по довжині (рис. 16.2,в), напруження має деяке проміжне
значення.
Результати проведеного аналізу мають істотне практичне значення.
Насамперед, цей аналіз показує, що характер опору стрижнів удару якісно
різко відрізняється від опору їх статичному навантаженню. При статичному
стисканні стовщення однієї частини стрижня не викликає зміни напружень у
перетинах іншої частини; при ударі воно підвищує їх. Місцеве зменшення
площі поперечного переріза на невеликій довжині стрижня різко підвищує
напруження.
Для зниження напружень необхідно стремитися головним чином до збільшення
податливості стрижня шляхом збільшення його довжини, додавання буферної
пружини, заміни матеріалу іншим, з більш низьким модулем пружності,
вирівнювання площ поперечного перерізу з метою одержати всі ділянки
стрижня однакової мінімальної площі перетину. От чому, конструюючи
стрижні, що працюють на удар, необхідно домагатися постійної площі
перетину по всій їх довжині. Місцеві стовщення припустимі лише на
невеликих ділянках довжини; місцеві виточення невеликої довжини вкрай
небажані. Якщо за таких умов сконструювати досить міцний стрижень не
вдається, необхідно подовжити його або рівномірно збільшити його площу.
Умова міцності при ударі має вигляд
.
Ми розглянули розрахунок динамічних напружень у випадку ударного
стискання. Однак всі наведені формули будуть також справедливі й для
ударного розтягання, зокрема для випадку, показаного на рис. 16.3.
Рис. 16.3. Ударне розтягання
Приклад. Вантаж Q вагою 50 Н, прикріплений до сталевого дроту діаметром
3 мм (рис. 16.4), вільно падає від точки А с прискоренням g. Знайти
напруження в дроті, коли її верхній кінець раптово зупинений. Масою
дроту зневажити.
Рис. 16.4. До прикладу 16.1
Рішення.
:
Так як кінетична енергія падаючого тіла збільшується в тій пропорції, що
й об’єм дроту, то напруження не залежать від висоти падіння вантажу Q.
.
Рис. 16.5. До прикладу 16.2
Рішення.
Знаходимо значення величин, що входять у цю формулу:
Напруження в стрижнях
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
