Розрахунок балки-стінки
Балкою-стінкою називається конструктивний елемент у вигляді балки,
висота якої одного порядку з довжиною перекриваємого прольоту. На
прикладі розрахунку нерозрізної балки-стінки можна проілюструвати
застосування до рішення плоскої задачі тригонометричних рядів. Рішення
дано Б. Н. Жемочкіним.
, і несе навантаження, рівномірно розподілене по верхній грані. Власна
вага балки-стінки при розрахунку в увагу не приймається.
Рис. 3.11. Балка-стінка
:
, одержуємо видозмінену функцію напружень для рішення поставленої
задачі:
Диференціюючи цю функцію відповідно до формул (3.10) і з огляду на те,
що об’ємні сили дорівнюють нулю, знаходимо складові напружень:
.
функція косинуса не міняються. Отже, у відповідних точках всіх
прольотів виникають однакові напруження.
, те
(в)
Нижня грань вільна від навантаження у всіх точках, крім тих, які лежать
на осях колон. У них прикладені опорні реакції, розглянуті як
зосереджені сили.
Отже, маємо ще дві умови:
(рис. 3.12).
3.12. Рівновага частини балки
Із суми проекцій на вісь всіх сил, що діють на виділену частину
балки, треба п’ята умова:
(д)
Нарешті, шосту умову одержуємо з розгляду вертикальних перерізів балки.
По характеру зовнішніх навантажень зусилля в них зводяться до
згинального моменту і поперечної сили. Оскільки поздовжня сила відсутня,
сума проекцій всіх сил на вісь дорівнює нулю:
(е)
Підставляючи в умови (в)-(е) складових напружень (б), після інтегрування
і приведення подібних членів одержуємо наступну систему рівнянь:
(ж)
З п’ятого рівняння (ж) знаходимо . З урахуванням цього результату перше
рівняння приймає вид
Для того, щоб суми членів ряду, не залежно друг від друга, рівнялися
нулю, необхідно і досить, щоб кожний член ряду рівнявся нулю. Тому
(з)
Аналогічно із другого рівняння (ж) одержуємо
(и)
а із четвертого –
(к)
Відповідно до формул (і) і (к), вираз, що стоїть у фігурних дужках
шостого рівняння (ж), дорівнює нулю і, отже,
Третє з рівнянь (ж) після підстановки значення приймає такий вид:
(л)
Для його рішення навантаження розкладемо в ряд Фур’є, використовуючи
відому з математики формулу
яка дійсна при . Таким чином,
.
Підставляємо цей ряд у формулу (л):
звідки знаходимо
Після цього, вирішуючи спільно систему рівнянь (з)-(к), знаходимо інші
постійні:
Враховуючи, що дробі і для високих балок-стінок при висоті , що має
порядок , близькі до одиниці, одержуємо:
; ; .
Підставляючи значення знайдених постійних у формули (б), знаходимо
(м)
Тут гіперболічні функції замінені експонентними відповідно до залежності
Ряди у формулах (м) сходяться дуже швидко у всіх точках, за винятком
тих, які перебувають поблизу нижнього краю (при малих значеннях ).
Результати обчислень для балки-стінки висотою наведені на рис. 3.13 у
вигляді епюр нормальних напружень для двох вертикальних перерізів (на
опорі і посередині прольоту) і нормальних напружень для двох
горизонтальних перерезів.
Рис. 3.13. Епюри нормальних напруг
Неважко переконатися, що ці епюри помітно відрізняються від епюр,
одержуваних в опорі матеріалів.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
