Розрахунки при згині (реферат)

Розрахунки при згині

У поперечних перерізах балки при згинанні нормальні напруження в пружному стані матеріалу розподіляються нерівномірно, лінійно змінюючись по висоті балки (рис. 13.11, а).

Рис. 13.11. Розрахунки при згинанні

Найбільші нормальні напруження в найбільш вилучених від нейтральної лінії точках поперечного переріза визначаються по формулі

.

При розрахунку на міцність по допустимим напруженням, запас міцності визначається як відношення границі текучості матеріалу до найбільшого напруження. Цим саме за небезпечний приймається стан балки, що відповідає досягненню найбільшими нормальними напруженнями в небезпечних перерізах границі текучості. Такий стан лише умовно можна вважати небезпечним. Балка ще зберігає здатність сприймати згинаючий момент, що збільшується.

Визначимо величину граничного згинального моменту у випадку чистого згинання. Розглянемо спочатку балку, поперечні перерізи якої мають дві осі симетрії. Границі текучості при розтяганні й стисканні будемо вважати однаковими.

Після появи плинності в найбільш вилучених від нейтральної осі точках перетину при подальшому збільшенні згинального моменту пластичний стан матеріалу поширюється в напрямку до нейтральної осі. До повного вичерпання несучої здатності балки в її поперечних перерізах будуть дві зони — пластична й пружна (рис. 13.11, б). Граничний стан наступить, коли плинність пошириться по всьому поперечному перерізу, так як після цього подальша деформація балки відбувається без збільшення згинального моменту. Епюра нормальних напружень у поперечному перерізі для граничного стану зображена на рис. 13.11, в. У розглянутому поперечному перерізі утвориться так званий пластичний шарнір, що передає постійний момент, рівний граничному згинальному моменту.

Граничний момент можна обчислити як суму моментів щодо нейтральної осі сил  у поперечному перерізі (рис. 13.11, в):

де  — статичний  момент  площі  половини  поперечного переріза щодо нейтральної осі.

Величину  прийнято називати пластичним моментом опору й позначати . Тоді

Для прямокутного поперечного переріза, що має ширину  й висоту ,

Небезпечна величина згинального моменту при розрахунку по допустимим напруженням

.

Відношення

характеризує ступінь збільшення запасу міцності балки при переході до розрахунку по граничному стану. У випадку балки прямокутного перетину

.

Для двотаврових прокатних балок у середньому . Якщо перетин балки має тільки одну вісь симетрії в площині навантаження (рис. 13.12), то в граничному стані нейтральна вісь не пройде через центр ваги поперечного переріза.

Рис. 13.12. Перетин з однією віссю симетрії

Положення нейтральної осі визначається з рівності нулю суми проекцій на вісь балки всіх сил , розподілених по її перетину:

де      — площа розтягнутої зони перетину;

— площа стиснутої зони.

Звідси одержуємо

,   ,

тобто у граничному стані нейтральна вісь перетину повинна ділити його площу навпіл.

Граничний згинальний момент

де      — статичний момент розтягнутої зони перетину щодо нейтральної осі;

— абсолютна величина статичного моменту стислої зони перетину щодо тої ж осі.

У цьому випадку пластичний момент опору

Наведені міркування щодо визначення граничного стану, еквівалентного утворенню пластичного шарніра в поперечному перерізі балки, строго говорячи, справедливі тільки для чистого згинання, коли немає дотичних напруг. Визначення граничного стану з урахуванням поперечної сили більш складно. Це питання тут не з’ясовується.

Розглянемо приклад розрахунку балки на вигин по допускаються напряжениям, що, і по граничному стані без обліку впливу поперечної сили.

Балка прямокутного поперечного переріза, затиснена по кінцях, несе рівномірно розподілене по довжині навантаження інтенсивності  (рис. 13.13, а). Визначити найбільшу інтенсивність цього навантаження, припустиму відповідно до розрахунку по допустимому напруженню, і по граничному стану при тому самому запасі міцності .

Рис. 13.13. Розрахунок без врахування впливу поперечної сили

Розрахунок по допустимим напруженням. Балка статично невизначена. Її розрахунок істотно спрощується завдяки симетрії. Знаходимо зайві невідомі та будуєм епюру згинальних моментів (рис. 13.13, а). Найбільше значення згинального моменту має в опорних затиснених перетинах:

При збільшенні навантаження  максимальні напруження в цих же перетинах насамперед досягнуть границі текучості. Приймаючи запас міцності по границі текучості рівним , знайдемо найбільшу припустиму інтенсивність навантаження з умови міцності:

Враховуючи, що , a ,  одержуємо

Розрахунок по граничному стану. Після появи пластичних деформацій у найбільш вилучених від нейтральної осі точках опорних перетинів подальший ріст навантаження приведе до утворення в цих перетинах пластичних шарнірів, а згинальний момент при цьому досягне граничного значення . Тепер вже балка працює як шарнірно обперта, до якої на опорах прикладені постійні моменти (рис. 13.13, б)

При подальшому рості навантаження ці моменти зберігають своє значення, і задача стає статично визначеною. У пролітних перетинах величини згинальних моментів будуть зростати, поки посередині прольоту момент не стане рівним тій же величині , тобто поки не утвориться пластичний шарнір. При цьому три пластичних шарніри розташуються на одній прямій, тому подальший ріст навантаження неможливий. Несуча здатність балки вичерпається.

Умова рівності згинальних моментів в опорних перетинах і посередині прольоту має вигляд

звідки знаходимо, що

Дорівнюючи праві частини формул (19.51)  і  (19.53), знайдемо:

Приймаючи запас міцності рівним  одержимо найбільшу припустиму інтенсивність навантаження:

Відношення найбільших припустимих навантажень при розрахунках по граничному стану й по допускаютимому напруженню

.

Розрахунок по граничному стану часто дозволяє розкрити додаткові резерви міцності. Як вказувалося вище, він одержав широке поширення при розрахунку будівельних конструкцій

Розрахунок по граничному стану з певним запасом міцності не гарантує від появи місцевих пластичних деформацій. Останнє ще припустимо при постійних навантаженнях, які мають місце переважно в будівельних конструкціях. При змінних навантаженнях, на яких найчастіше доводиться розраховувати машинобудівні конструкції, поява пластичних деформацій у багатьох випадках неприпустимо. Тому в таких випадках варто вести розрахунок по допустимим напруженням.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter