Розрахунки при крутінні
При крутінні стрижнів із круглим поперечним перерізом дотичні напруження
в пружній області пропорційні відстаням точок перетину від осі стрижня
(рис. 13.7) і визначаються по формулі
, (13.22)
a
. (13.23)
Коли крутний момент збільшується, то пластичні деформації з’являються не
відразу по всьому поперечному перерізу, а поступово, у міру росту
моменту поширюються від найбільш вилучених точок до осі стрижня.
Внаслідок цього розрахунки на міцність по напруженнях у найнебезпечніших
точках і по граничному стану дають різні результати навіть у статично
визначених системах. Розрахунок по граничному стану й у цьому випадку
дозволяє виявити додаткові резерви міцності.
Рис. 13.7. Крутіння стрижня круглого перетину
Розглядаючи крутіння в пластичній області, будемо припускати, що
залежність між дотичними напруженнями й відносним зсувами для матеріалу
відповідає ідеалізованій діаграмі з необмеженою горизонтальною ділянкою
(рис. 13.8).
Рис. 13.8. Ідеалізована діаграма
.
а б в
Рис. 13.9. Епюри напружень при різних станах стержня
Коли пластична зона охопить весь перетин, несуча здатність стержня буде
вичерпана, так як надалі він буде закручуватися без збільшення крутного
моменту. Епюра напружень при цьому стані стрижня зображена на рис. 13.9,
б.
, що відповідає вичерпанню несучої здатності стрижня.
.
Крутний момент у перетині дорівнює сумі всіх елементарних моментів
внутрішніх сил. Тому
або
(13.24)
Величина
(13.25)
називається пластичним моментом опору при крутінні.
Тоді
, при якому в перетині вперше виникнуть напруження плинності:
одержимо
, (13.28)
або
. (13.29)
Такий схований запас працездатності круглого стрижня, що виявляється при
переході від розрахунку по допускаються напряжениям, що, до розрахунку
по граничному стані.
j
p
I
”y?
У стрижнів які скручуються, кільцевого поперечного перетину розподіл
напружень у пружній стадії ближче до рівномірного, тому різниця в
запасах міцності, що виявляється при розрахунку по граничному стану й по
допустимим напруженням, буде меншою.
Як приклад розглянемо стрижень круглого поперечного переріза, кінці
якого жорстко затиснені (рис. 13.10, а). У проміжному перетині стрижня
прикладений момент, що закручує Мк. Визначимо запас міцності при
розрахунку по допустимому напруженню, і по граничному стану.
а
б
в
Рис. 13.10. Жорстко затиснений стрижень
Розрахунок по допустимому напруженню. Розкриваємо статичну
невизначеність задачі при пружному стані матеріалу. Позначивши реактивні
моменти через і , одержимо рівняння рівноваги в такому виді:
. (13.30)
Деформації повинні задовольняти наступній умові:
,
або
(13.31)
Звідси
. (13.32)
Вирішуючи спільно рівняння (19.30) і (19.32), знайдемо, що
; .
Епюра крутних моментів показана на рис. 13.10, б.
Найбільші дотичні напруження будуть на ділянці :
.
Ведучи розрахунок по допустимим напруженням, маємо
. (13.33)
Звідси запас міцності по границі текучості
. (13.34)
Розрахунок по граничному стану. При збільшенні моменту, що скручує,
найбільші напруження на першій ділянці досягнуть границі текучості, і
потім зона плинності буде поширюватися до осі стрижня. Коли плинність
охопить весь перетин, реактивний момент досягне свого граничного
значення. Його величина
, (13.35)
або
(13.36)
Цей стан не буде граничним для всього стрижня, тому що друга ділянка, що
перебуває в пружному або в пружно-пластичному стані (із пружним ядром),
збереже здатність чинити опір зростаючому моменту . Несуча здатність
стрижня вичерпається, коли й на другій ділянці зона пластичності
пошириться по всьому перетину. Реактивний момент при цьому досягне
свого граничного значення
(13.37)
або
(13.38)
Епюра крутних моментів у граничному стані стрижня зображена на рис.
13.10, в.
Граничне значення моменту, що скручує, для всього стрижня знайдемо з
умови рівноваги (13.30):
,
або з урахуванням виразів (13.36) і (13.38):
(13.39)
Запас міцності
. (13.40)
Таким чином, розрахунок по граничному стану показав, що запас міцності
стрижня значно вище, ніж той, який розраховується по допустимому
напряженню, (13.34). Відношення цих запасів міцності .
Слід зазначити, що розрахунки по несучій здатності цілком прийнятні при
дії постійних крутних моментів.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
