Розрахунки на міцність і жорсткість при крутінні (реферат)

Розрахунки на міцність і жорсткість при крутінні

Розрахунки на міцність і жорсткість при крутінні

Міцність бруса, що працює на крутіння, вважають забезпеченою, якщо найбільші дотичні напруження, що виникають у його небезпечному поперечному перерізі, не перевищують допустимі:

Ця формула виражає умову міцності при крутінні брусу круглого (кільцевого) перерізу й служить для виконання перевірочного розрахунку.

Для проектувального розрахунку й для визначення допустимого навантаження (моменту) з формули (7.14) відповідно одержуємо

Крутний момент , що входить у наведені розрахункові формули, за допомогою методу перерізів повинен бути виражений через зовнішні (крутні) моменти.

Розрахунок ведеться для небезпечного поперечного перерізу. Для бруса постійного діаметру небезпечним є переріз, у якому виникає найбільший крутний момент. Якщо діаметр бруса не постійний, може виявитися, що найбільші напруги виникають не там, де крутний момент максимальний, отже, у цьому випадку питання про небезпечний переріз повинен бути досліджений додатково  (приклад 7.1).

Допустиму напругу для пластичних матеріалів призначають залежно від їхньої границі текучості на крутіння (на зсув) , тобто

а для крихких матеріалів — залежно від межі міцності:

Для пластичного матеріалу діаграма залежності між дотичним напруженням і кутом зсуву (характеристика матеріалу при зсуву), отримана шляхом відповідної обробки результатів випробувань на крутіння, показана на мал.7.11. Площадка текучості на цій діаграмі відсутня. В якості межі текучості умовно приймають напругу, при якій залишковий кут зсуву дорівнює 0,003 радіана.

Рис.7.11. Діаграма випробувань на крутіння

Враховуя, що за експериментальним даними границя текучості при крутінні пов’язана із границею текучості при розтяганні залежністю

для сталі приймають

Для чавуну приймають

Зазначені значення допустимих напруг можна приймати лише у випадку чистого крутіння. Практично на крутіння звичайно розраховують вали, які, крім деформації крутіння, зазнають також вигин. Не враховуючи при орієнтовному розрахунку валів вплив вигину, роблять помилку, що приводить до зменшення фактичного коефіцієнту запасу міцності. Для компенсації цієї помилки й забезпечення міцності вала допустиму напругу, на крутіння приймають зниженою; для конструкційної вуглецевої сталі звичайно

У багатьох випадках вал повинен бути розрахований не тільки на міцність, але й на жорсткість при крутінні. Як приклад можна вказати на ходові гвинти токарських верстатів, при деформації яких крок їхнього різьблення змінюється, а, отже, і крок різьблення, нарізаного на цьому верстаті, виходить із деякою погрішністю. Задаючи певний допуск на точність виготовленого різьблення, тим самим ставлять вимогу обмеження кута закручування ходового гвинта. Чим вище повинна бути точність нарізаного різьблення, тим менші деформації ходового гвинта можна допустити.

Як міра жорсткості при крутінні приймають кут закручування  або (частіше) відносний кут закручування (кут закручування на одиницю довжини) вала, позначуваний

З наведеного прикладу повинно бути ясно, що на відміну від допустимої напруги залежної в першу чергу від матеріалу валу, допустимий кут закручування залежить від призначення вала. Величини допустимих кутів закручування які зустрічаються в різних галузях машинобудування, досить різноманітні.

Умова жорсткості при крутінні має вигляд

При проектувальному розрахунку звідси визначають необхідну величину , а потім обчислюють діаметр валу. Із двох значень діаметра вала, знайдених з розрахунків на міцність і жорсткість, у якості остаточного (виконавчого розміру) повинен бути, звичайно, прийнятий більший.

На закінчення зупинимося на порівняльній оцінці валів круглого і кільцевого поперечних перерізів. З епюр дотичних напружень, наведених на мал.7.10, видно, що, видаляючи матеріал поблизу осі вала, його міцність знижується досить незначно, тому що ця частина матеріалу для вала суцільного перерізу мало навантажена. При рівних площах поперечного перерізу, а, отже, при однаковій масі валів, кільцевий переріз має більші полярні моменти інерції й опору, чим суцільне, тобто вал кільцевого перерізу виявляється жорсткіше й міцніше. Нарешті, при рівній міцності або рівній жорсткості, тобто при однакових значеннях  або , порожній вал виходить легше суцільного.

Нехай  і  — відповідно зовнішній і внутрішній діаметри кільцевого перерізу й  — діаметр вала суцільного круглого перерізу. При рівній міцності валів, прирівнюючи полярні моменти опору їхніх перерізів (див. розділ 2), одержуємо

Виражаючи  через , маємо:

Відношення мас валів (при однаковому матеріалі й довжині) дорівнює відношенню площ їхніх поперечних перерізів:

або, використовуючи (7.20),

При рівній жорсткості валів, прирівнюючи полярні моменти інерції їхніх перерізів, аналогічно одержуємо:

Графіки, побудовані по залежностях (7.21) і (7.22), представлені на мал.7.12: крива 1 відповідає рівній міцності, а крива 2 — рівній жорсткості.

Рис.7.12. Графіки співвідношення площ круглого й кільцевого перерізів

Приклади розрахунків

Приклад 7.1. Східчастий сталевий брус круглого поперечного перерізу жорстко закріплений одним кінцем і навантажений, як показано на мал.7.13,а. Побудувати епюри крутних моментів, максимальних дотичних напружень і кутів повороту поперечних перерізів. Перевірити міцність брусу при

Рис.7.13. До прикладу 7.1

Рішення

Епюру крутних моментів (мал.7.13,б,в) будуємо, починаючи від вільного (лівого) кінця, що дозволяє не визначати реактивний момент у закладенні.

Для знаходження небезпечного перерізу будуємо епюру максимальних дотичних напружень, користуючись формулою

Для ділянки АВ:

Аналогічно визначаємо дотичні напруги в поперечних перерізах інших ділянок бруса.

Ординати епюри  (мал.7.13,г) відкладаємо в ту ж сторону, що й відповідні ординати епюри . Знак дотичного напруження при розрахунку на міцність ніякої ролі не грає, і прийнятий напрямок ординат епюри умовний.

Небезпечними виявилися поперечні перерізи ділянок ВС і DC. Таким чином, небезпечними виявилися не ті перерізи, у яких крутний момент максимальний. Умова міцності  виконується. Очевидно, що матеріал бруса використаний нераціонально; навіть у небезпечному перерізі максимальна  напруга на 32%  нижче допустимої.

Епюру кутів повороту будуємо, починаючи від затисненого кінця. Ординати цієї епюри в обраному масштабі дають величини кутів повороту відповідних поперечних перерізів бруса. Епюра будується зовсім аналогічно епюрі лінійних переміщень. У межах кожного з ділянок бруса епюра лінійна, тому досить обчислити кути повороту тільки для граничних перерізів ділянок.

Кут повороту перерізу К, дорівнює куту закручування ділянки KL

Кут повороту перерізу D відносно К, дорівнює куту закручування ділянки DK

Абсолютний кут повороту перерізу D (відносно закладення) дорівнює алгебраїчній сумі кутів закручування ділянок KL і DK.  Таким чином, ордината епюри  в перерізі D дорівнює

Аналогічно обчислюються кути повороту інших граничних перерізів. Епюра  представлена на мал.7.13,д.

Приклад 7.2. Вал діаметром d = 60 мм обертається з кутовою швидкістю  = 600 об/хв. Визначити з розрахунків на міцність і жорсткість допустиму величину потужності, яку може передавати вал, якщо

Рішення

Допустимий крутний момент  по умові міцності, рівний у цьому випадку переданому валом обертаючому моменту, визначимо по формулі (7.16)

Для визначення допустимого моменту  з розрахунку на жорсткість скористаємося формулою (7.19):

Остаточно приймаємо менше із двох значень: . Відповідну потужність знайдемо, використовуючи (7.1):

При прийнятому значенні допустимого моменту максимальні дотичні напруження в поперечному перерізі вала

тобто на 52,3% нижче допустимих.

Приклад 7.3. Визначити з розрахунків на міцність і жорсткість необхідні розміри поперечного переріза вала (мал.7.14) у двох варіантах: а) переріз — коло; б) переріз — кільце з відношенням внутрішнього діаметра до зовнішнього с = 0,7.

Переріз вала вважати по всій довжині постійним. Прийняти  Вал обертається з кутовою швидкістю

Вибрати найбільш раціональну послідовність розташування шківів на валу.

Рис.7.14. До прикладу 7.3

Рішення

Прийнявши розташування шківів, зазначене на мал.7.14, одержимо схему валу й епюру крутних моментів, показаних на мал.7.15.

Рис.7.15. Перший варіант розташування шківів

Величини обертаючих моментів, переданих кожним зі шківів (значення крутних моментів), обчислені по формулі (7.1).

Помінявши місцями шківи 1 і 2, одержимо розрахункову схему й епюру , показані на мал.7.16.

Рис.7.16. Другий варіант розташування шківів

Очевидно, другий варіант доцільніше, тому що в цьому випадку розрахунковий крутний момент  значно менший, ніж у першому варіанті, де . Неважко переконатися, що при інших варіантах розташування шківів розрахунковий крутний момент не зменшиться. З розглянутого можна зробити загальний вивід: не слід розташовувати прийомний шків на одному з кінців вала. Його треба розташувати між шківами, що передають потужності робочим машинам, таким чином, щоб моменти, передані ділянками вала ліворуч і праворуч від нього, були по можливості однакові.

Визначаємо необхідний полярний момент опору перерізу валу з розрахунку на міцність:

Діаметр вала круглого перерізу

Зовнішній діаметр вала кільцевого перерізу

Необхідний полярний момент інерції перерізу валу з розрахунку на жорсткість

Діаметр вала круглого перерізу

Зовнішній діаметр вала кільцевого перерізу

Необхідні розміри перерізу вийшли з розрахунку на жорсткість більше, ніж з розрахунку на міцність, тому їх і приймаємо в якості остаточних.

По кривій 2 (мал.7.12) установлюємо, що вал кільцевого перерізу буде легше суцільного валу приблизно на 42%.

Приклад 7.4. Два однакових вали з’єднані втулковою муфтою зі штифтами (мал.7.17). З’ясувати, що обмежує величину переданого моменту: міцність валів, муфти або штифтів. Прийняти: для валів , для муфти , для штифтів .

При розрахунку валів і муфт ослаблення їхніми отворами для штифтів не враховувати.

Рис.7.17. До прикладу 7.4

Рішення

1. Допустимий момент з умови міцності валів
2. Допустимий момент з умови міцності муфти
3. Допустимий момент з умови міцності штифтів. Штифт працює на зріз. З огляду на наявність двох площин зрізу, одержуємо наступну розрахункову умову:

Зусилля, що діє на штифт, пов’язане з переданим моментом залежністю

Підставляючи значення  в умову міцності, одержуємо

звідки

Таким чином, найменш міцними елементами конструкції є штифти. Для збільшення допустимого моменту можна поставити на кожній половині муфти два штифти, одночасно трохи зменшивши їхній діаметр. Товщину втулки (муфти) можна трохи зменшити, тому що муфта значно міцніше валу.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter