Робота зовнішніх сил і потенційна енергія пружних систем (реферат)

Робота зовнішніх сил і потенційна енергія пружних систем

Закон збереження енергії. Зовнішні сили, що викликають деформацію пружної системи внаслідок переміщень точок їх додатка, виконують певну роботу. Відповідно до закону збереження енергії, пружна система при деформуванні одержує кількість енергії, рівна роботі зовнішніх сил, що беруть участь у цьому деформуванні. В загальному випадку отримана системою енергія може існувати в різних формах: у вигляді пружної потенційної енергії, кінетичної енергії, тепловий, електромагнітної та ін. У статичних задачах передбачається дуже повільний ріст зовнішніх навантажень, а тому і малі швидкості деформування розглянутої системи, що дозволяє зневажати при розрахунку таких систем кінетичною енергією, що накопичується в них.

Поява теплової, електромагнітної та іншої форм енергії супроводжується необоротними процесами, у результаті чого система не буде вже зовсім пружною, тому що при повному розвантаженні вона вже не в змозі, повернути всю ту енергію, що була нею отримана в процесі навантаження.

Таким чином, при статичних деформаціях зовсім пружної системи, в силу закону збереження механічної енергії, у цій системі накопичується в оборотній формі кількість потенційної енергій пружної деформації, рівна роботі, виконаної зовнішніми силами:

де П — повна потенційна енергія деформації системи, включаючи енергію деформацій всіх її пружних опор і закладень; U — робота зовнішніх сил на переміщеннях системи.

Принцип можливих переміщень. Із закону збереження енергії (11.2) випливає принцип можливих переміщень, що формулюється так: для тіла, що перебуває в положенні рівноваги, сума робіт всіх діючих на нього зовнішніх і внутрішніх сил на будь-якій системі можливих переміщень дорівнює нулю.

Можливими переміщеннями пружної системи називаються переміщення, що не порушують умов спільності переміщень як всередині системи (тіла), так і в точках її з’єднання із зовнішніми зв’язками (рівність нулю переміщень на жорстких опоpax, відсутність кутів повороту в опорних перерізах жорсткозатиснутої балки і т.п.).

Можливі нескінченно малі переміщення системи з положення рівноваги можна одержати, даючи нескінченно малі збільшення зовнішнім силам. При цьому внутрішні сили також будуть одержувати нескінченно малі збільшення. Оскільки робота нескінченно малих збільшень зовнішніх і внутрішніх сил на нескінченно малому переміщенні системи буде малою величиною більш високого порядку в порівнянні з роботою самих сил, то при обчисленні збільшень роботи на нескінченно малому відхиленні системи з положення рівноваги зовнішні і внутрішні сили можна вважати незмінними по величині. Збільшення роботи внутрішніх сил пружності дорівнює збільшенню потенційної енергії системи зі зворотним знаком ( ). З урахуванням цього математичне формулювання принципу можливих переміщень представиться в такому виді

Потенційна енергія деформації. Відомі формули для обчислення потенційної енергії деформації лінійно пружного тіла.

Одержимо необхідні залежності для обчислення потенційної енергії тіла з довільними фізичними властивостями.

Виділимо із жорсткого тіла елементарний паралелепіпед, ребра якого рівні dx, dy, dz. Допустимо, що на виділений елемент об’єму діють напруження , а всі інші компоненти напружень дорівнюють нулю. Нехай далі сила  під впливом якихось зовнішніх факторів отримує деяке мале збільшення , тоді паралелепіпед подовжиться по напрямку осі х на величину . Діючі на елемент зусилля виконують роботу, що з точністю до величин другого порядку малості буде дорівнює

Тоді при дії на елемент всіх компонентів тензора напружень збільшення роботи всіх зусиль визначиться формулою

Звідси приріст роботи, що доводиться на одиницю об’єму тіла,

За допомогою отриманого виразу можна визначити потенційну енергію одиниці об’єму (питома потенційна енергія):

Інтеграл в (11.5) береться по шляху деформування тіла.

Для ідеально пружного тіла значення W не повинне залежати від шляху інтегрування, отже, підінтегральний вираз повинний бути повним диференціалом:

У цьому випадку при обчисленні криволінійного інтеграла (11.5) доцільно вибрати шлях деформування, що реалізований у формулі, яка нижче приводиться:

Порівнюючи вирази (11.4) і (11.6), знайдемо

Співвідношення (11.8) справедливі для пружних тел.

Потенційна енергія деформації всього тіла П и її збільшення  визначаються інтегруванням по всьому обсягу тіла:

На закінчення ще раз слід зазначити, що питома потенційна енергія W суцільного тіла з довільними фізичними властивостями знаходиться по формулі (11.5); для зовсім пружного тіла — по (11.7).

Потенційна енергія деформації лінійно пружного стержня. Всі основні варіаційні методи рішення задач теорії пружності і будівельної механіки, які викладаються в справжній главі, ілюструються на прикладах розрахунку найпростіших стрижневих систем. При цьому доводиться обчислювати потенційну енергію деформації. Одержимо необхідні для цього формули.

Передбачається, що матеріал стержня відповідає закону Гука. Розглянемо випадок, коли стержень під дією зовнішнього навантаження випробовує згинання в одній площині, наприклад, у площині . Дія зовнішнього навантаження викликає в кожному з поперечних перерізів стрижня по його довжині узагальнені внутрішні зусилля: згинальний момент , поперечну силу , поздовжню силу .

Використовуючи відомі залежності технічної теорії згинання і розтягання – стискання балки, для визначення її напруженого стану можна виписати наступні формули:

де  — площа поперечного перерізу і момент інерції цієї площі щодо нейтральної осі,  — так звана приведена площа поперечного переріза балки. Для двотаврової балки, наприклад при її вигині в площині стінки,  приймається рівної площі перерізу стінки. Прийняті тут позитивні напрямки внутрішніх зусиль у поперечному перерізі балки показані на рис. 11.3.

Підставляючи напруги (11.11) у формулу (3.41) для питомої потенційної енергії, одержуємо

Інтегруючи цей вираз по всьому обсягу стержня (спочатку по площі поперечного переріза, а потім по довжині), знайдемо наступний вираз для повної енергії стрижня:

де l — довжина стрижня.

Рис. 11.3. Прийняті правила знаків

При одержанні формули (11.12) враховувалося, що інтеграл по площі d перерізу дає F, від  дає I; від zd інтеграл буде дорівнює нулю, тому що вісь у є нейтральною віссю поперечного переріза.

З технічної теорії згинання і розтягання балки відомі наступні залежності, що встановлюють зв’язок між внутрішніми зусиллями в поперечних перерізах балки і компонентами переміщення її осі:

де  — переміщення точок осі балки в напрямку осі x;

— відповідно згинальна і зсувна складового прогину осі балки.

Якщо виключити в (11.12) за допомогою формул (11.13) зусилля  і , одержуємо ще одну корисну формулу для підрахунку потенційної енергії балки:

Потенційна енергія стрижневої системи буде дорівнює сумі потенційних енергій всіх стрижнів, що входять до складу системи.

Якщо окремі перерізи стержня опираються на пружні опори або мають пружні закладення, то потенційна енергія, що накопичується в цих елементах, повинна враховуватися в розрахунках. Обмежимося розглядом лише лінійно деформованих опор і закладень. Осідання такої опори  лінійно залежить тільки від її реакції :

а кут повороту пружного закладення лінійно залежить від реактивного моменту

де  — коефіцієнт піддатливості i-й пружної опори;  — коефіцієнт піддатливості пружного закладення.

Потенційна енергія, що накопичується, у пружній опорі і пружному закладенні дорівнює відповідно роботі, виконуваної  реакціями на відповідних переміщеннях . Якщо при цьому врахувати залежності (11.15) і (11.16), то одержимо

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter