Робота пружних сил. Потенціальна енергія деформацій
Виділимо з тіла нескінченно малий паралелепіпед (рис.1.1) і визначимо
роботу, що виконується прикладеними до нього пружними силами на можливих
переміщеннях.
виконують роботу
на відповідних їм можливих переміщеннях:
У такий же спосіб визначається робота двох інших дотичних складових на
відповідних їм можливих переміщеннях:
На підставі принципу незалежності дії сил можливу роботу всіх сил,
прикладених до розглянутого елемента, одержимо як суму можливих робіт,
виконуваних кожною силою окремо:
Розділивши цей вираз на об’єм розглянутого паралелепіпеда dxdydz,
одержимо збільшення роботи, віднесеної до одиниці об’єму тіла в тій
точці, де виділений паралелепіпед:
(1.76)
На підставі закону збереження енергії будемо вважати, що робота пружних
сил повністю переходить у потенційну енергію, що накопичується тілом при
одержанні пружних деформацій і повертаєму їм назад у вигляді роботи сил
при зникненні деформації.
¬
®
c eiE
I
3 питому потенційну енергію, тобто енергію, що накопичується в одиниці
об’єму деформуємого тіла, то на підставі прийнятого вище допущення
збільшення роботи внутрішніх сил на можливих переміщеннях повністю
перейде в потенційну енергію й остання одержить збільшення
Порівнюючи це співвідношення з формулою (1.76), одержуємо збільшення
питомої потенційної енергії в такому вигляді:
(1.77)
Збільшення з точністю до величин другого порядку малості можна замінити
повним диференціалом:
Підставляючи сюди значення напруг (1.73), одержуємо
Інтегруючи, знайдемо вираз потенційної енергії через
деформації:
(1.78)
Виконуючи зворотну операцію з формулами (1.73), одержимо
(1.79)
Отже, питома потенційна енергія, що накопичується в пружному тілі,
дорівнює напівсумі добутків складових напруг на відповідні їм складові
деформації. Це співвідношення називають формулою Клапейрона.
Питому потенційну енергію можна також виразити тільки через складові
напруг. Підставляючи у формулу (1.79) значення деформацій (1.63),
знайдемо
(1.80)
Відповідно до співвідношень (1.71), пружні постійні й , що входять у
формулу (1.78), позитивні, отже, потенційна енергія також завжди є
величиною позитивною.
Потенційну енергію, що накопичується у всьому тілі, підраховують
підсумовуванням питомої потенційної енергії по всьому об’ємі тіла V:
(1.81)
Підставляючи сюди вираз питомої потенційної енергії по формулі
Клапейрона (1.79), остаточно одержуємо
(1.82)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
