Рівняння зв’язку й правила знаків для граничних параметрів стержнів
При механічних впливах стержень у загальному випадку буде випробовувати 4 види деформування: розтягання-стискання, зсув, крутіння й згинання. У граничних точках стержня й при деформуванні виникають наступні кінематичні і статичні граничні параметри:
а) розтягання-стискання
– переміщення граничних крапок по нормалі до поперечного переріза;
– нормальні сили;
б) зсув
– поперечні переміщення граничних точок;
– поперечні сили;
в) крутіння, включаючи й тонкостінні стержні
– кути закручування граничних точок;
– похідні кутів закручування;
– крутні моменти;
– бімоменти;
– гнучко-крутні моменти;
– зовнішні крутні моменти щодо центра згинання;
г) згинання
– поперечні переміщення граничних крапок;
– кути повороту перетинів у граничних крапках;
– поперечні сили;
– згинальні моменти.
Для побудови співвідношень між граничними параметрами приймається лівовинтова система координат (рисунок 9), як найбільш часто застосовувана іншими авторами. Можна застосувати й правовинтову систему координат, але з відповідними змінами в правилах знаків.
Рис. 1.9
Граничні параметри напружено-деформованого стану стержня мають позитивні й негативні напрямки, що залежать від обраної локальної системи координат. У прийнятій системі координат позитивні лінійні переміщення граничних точок будемо вважати співпадаючими з напрямками осей , , . Кути повороту перетинів у граничних точках будемо вважати позитивними, якщо вони спрямовані за годинниковою стрілкою з боку позитивного напрямку координатних осей.
Прийняті позитивні напрямки статичних і кінематичних граничних параметрів представлені на рис. 1.10.
Розглянемо співвідношення між кінематичними і статичними граничними параметрами, що виникають при об’єднанні стержнів у лінійну систему. При рівновазі всієї системи будуть перебувати в рівновазі й вузли. При цьому статичні граничні параметри будуть задовольняти рівнянням рівноваги вузлів.
| розтягання-стискання
|
||
| зсув | ||
| крутіння | ||
| згинання, вісь спрямована “уверх” | згинання, вісь спрямована “донизу” | |
Рис. 1.10
При деформуванні стержневої системи вузли одержують певні лінійні і кутові переміщення, і кінематичні граничні параметри будуть зв’язані в цих вузлах рівняннями спільності переміщень. Як виходить з рівняння (1.39), навантаження на стержень виділяються в окрему матрицю й не зв’язується із граничними статичними параметрами. Тому рівняння рівноваги вузлів не повинні містити зовнішнє навантаження. Відповідно, рівняння рівноваги, що містять реакції зовнішніх зв’язків, можуть розглядатися тільки у випадку, коли відомий напрямок і величина зовнішніх реакцій. Для кінематичних параметрів рівняння спільності переміщень вузлів не повинні включати лінійні й кутові переміщення стержнів як абсолютно твердих тел. У такій постановці рівняння рівноваги й спільності переміщень вузлів стержневої системи виступають тільки як рівняння зв’язку між граничними параметрами сусідніх стержнів. Це дозволяє зображувати статичні граничні параметри у вузлі або в позитивному, або в негативному напрямках (необхідно вибрати щось одне), а переміщення вузлів зображувати візуально на деформованій схемі лінійної системи лише якісно. У цьому зв’язку для конкретної конструкції вузла необхідно скласти рівняння статики і спільності переміщень лише один раз. У будь-якій стержневій системі, що містить такий вузол, ці рівняння збережуть свій вид, що досить істотно полегшує побудову співвідношень між граничними параметрами.
Розглянемо приклади складання рівнянь зв’язку між граничними параметрами сусідніх стержнів. Для жорсткого вузла із двох стержнів у випадку, зображеному на рис. 1.11 а, можна правильно встановити співвідношення між статичними граничними параметрами:
| (1.42) |
| (1.43) |
| (1.44) |
Рис. 1.11
а випадок (рис. 1.11, б) приведе до помилки для співвідношення (1.43) (неправильно зображена сила ), хоча рівновага вузла 1 у напрямку осі виконується.
Для жорсткого вузла із трьох стержнів (рис. 1.12) співвідношення (1.42 – 1.44) приймуть вид:
Рис. 1.12
| (1.42) |
| (1.43) |
| (1.44) |
Аналогічно складаються рівняння рівноваги вузла, де сходяться більша кількість стержнів.
Трохи складніше встановити зв’язок між кінематичними параметрами. Тут необхідно зображувати якісну картину деформованого стану пружної системи, що вимагає певних навичок і досить глибоких подань про поводження елементів конструкцій при дії зовнішніх навантажень.
Розглянемо шарнірний вузол із двома стержнями (рис. 1.13). Нехай стержні випробовують розтягання-стискання.
Рис. 1.13
Положення шарніра 1 після деформування стержневої системи визначається тим, що граничні точки стержнів 0-1 і 1-2 переміщаються по напрямку своїх осей і повертаються на деякий кут. Це рівнозначно тому, що гранична точка стержня має два взаємно перпендикулярних переміщення (плоский випадок). Тому, якщо шарнір 1 перемістився в перший або третій квадранти, то:
тобто знаки граничних параметрів однакові.
Якщо шарнір 1 виявиться в другому або четвертому квадрантах, то знаки параметрів різні:
Якщо стержні випробовують згинання, то для положення шарніра в першому й третьому квадрантах можна записати:
.
Для положення шарніра в другому й четвертому квадрантах знак мінус опускається:
.
Розглянуті приклади приводять до виводу про те, що необхідно враховувати знаки граничних параметрів. У шарнірному вузлі для кутів повороту граничних точок у загальному випадку виконується співвідношення
.
В окремому випадку може бути й рівність. У жорсткому вузлі для однаково орієнтованих локальних систем координат (вісь спрямована у всіх стержнів “донизу” або “уверх”) маємо рівність кутів повороту:
,
для систем координат різної орієнтації:
.
Розглянемо деформований стан шарнірного вузла із трьома стержнями (рисунок 1.14), що випробовують розтягання – стискання, де
| Рис. 1.14 | – абсолютне переміщення вузла 1.
З рис. 1.14 виходить, що: , тобто абсолютне переміщення шарнірного вузла визначається переміщеннями тільки взаємно перпендикулярних стержнів. |
Нехай вузол 1 переміститься в другий (або четвертий) квадрант. Проектуючи переміщення й на переміщення , одержимо:
.
Якщо вузол виявиться в першому (або третьому) квадранті, то вийде таке ж співвідношення. Таким чином, співвідношення між кінематичними параметрами залежать лише від геометричних особливостей вузлів і не залежать від ступеня деформованості стержневої системи. Для жорсткого вузла із трьома стрижнями, що випробовують згинання, кінематичні співвідношення можна одержати з деформованого стану (рис. 1.15).
Рис. 1.15
; .
Для вузлів з більшим числом стержнів співвідношення між кінематичними граничними параметрами встановлюються аналогічно.
Приклади складання співвідношень між граничними параметрами показують, що необхідно заздалегідь визначити для кожного стержня конструкції його початок і кінець, тобто скласти орієнтований граф пружної системи.
Орієнтований граф стрижневої системи будемо представляти у вигляді певного набору пронумерованих вузлів із вказівкою початку і кінця кожного стержня. У такому виді орієнтований граф не відрізняється від розрахункової схеми стержневої системи й містить номера вузлів з обраними для кожного стержня початком і кінцем. Щоб додатково не зображувати орієнтовані графи, кожна пружна система надалі має номера вузлів і стрілки, що вказують на початок і кінець стержнів. При цьому зручно позначати й граничні параметри, присвоівши їм номера відповідних стержнів.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
