Рівняння стиснутого крутіння. Обчислення секторіальних характеристик
Рівняння стиснутого крутіння
і поступая так, як це робилося при визначенні центра вигину, знайдемо:
по формулі (9.17). Справа зведеться до обчислення трьох інтегралів,
причому два перших звертаються в нуль. Дійсно, перший інтеграл буде
Інтегруючи вроздріб, одержимо
тому що осі х и у є головними центральними осями й за полюс при
визначенні секторіальної площі обраний центр вигину. Зовсім аналогічно
показується, що й другий інтеграл дорівнює нулю. Залишається
Тут
у формулу для моменту, одержимо
Цей інтеграл варто брати вроздріб:
Але при підстановці меж інтегрування перший член звертається в нуль
внаслідок (9.15). Уведемо позначення
По зовнішній аналогії з визначенням осьових моментів інерції будемо
називати величину секторіалъним моментом інерції.
Тепер
(9.18)
Покладемо
(9.19)
Величина В називається бімоментом. Помітимо, що гнучко-крутильний момент
пов’язаний з бімоментом так само, як поперечна сила зі згинальним
моментом:
(9.20)
Однак формула (9.20) не дозволяє, наприклад, побудувати епюру
бімоментов. Справа в тому, що повний крутний момент у переризі
врівноважується гнучко-крутильним моментом лише частково і величина
останнього заздалегідь невідома.
Формула (9.16) запишется тепер у наступній симетричній формі:
(9.21)
Формула для дотичних напружень (9.17) має вигляд
пов’язаний з погонним кутом закручування звичайною формулою теорія
крутіння тонкостінних стрижнів:
(9.23)
Тут С — геометрична жорсткість.
Рівняння моментів щодо осі:
Вносячи сюди вираз (9.18) і (9.23), одержимо:
(9.24)
Це і є основне диференціальне рівняння теорії стиснутого крутіння.
Щоб використовувати це рівняння, необхідно вміти обчислювати
секторіальні характеристики перетину, тобто секторіальні моменти
інерції.
Обчислення секторіальних характеристик
При обчисленні секторіальних характеристик перетину для профілів,
складених із прямокутників, доводиться обчислювати інтеграли від добутку
двох функцій виду
є лінійна функція (рис.9.12).
перетинає вісь абсцис, одержимо
— кутовий коефіцієнт лінійної епюри. Але
тому
для двотаврового профілю, профіль не можна обійти від одного кінця до
іншого. У випадку таких складених профілів потрібно дотримуватися
наступних правил:
1.Обхід перетину виконується від однієї й тої ж точки, прийнятої за
початок відліку секторіалъних площ.
2.Секторіальна площа росте, якщо кінець вектора, що виходить із полюса й
обертається проти годинникової стрілки, рухається в напрямку обходу.
Приклади.
а) Двотавровий перетин (рис.9.13).
Рис.9.13. Двотавровий перетин
варто обчислити інтеграл
в точці, що відповідає центру ваги, і результат учетверити.
. Цей же висновок справедливий для будь-якого профілю, утвореного
прямолінійними тонкостінними елементами, що сходяться в одній точці,
наприклад, для тавра. Такі стрижні не мають гнучко-крутильну
жорсткість, перетини їх при крутінні не спотворюються.
в) Швелерний перетин (рис.9.14).
Рис.9.14. Швелерний перетин
??
E
I
”
?
¤
. Застосовуючи правило Верещагіна, одержимо
не має смислу; варто відразу вести всі обчислення в числах.
г) Зетовий перетин. Виберемо допоміжний полюс у центрі ваги й початок
відліку секторіальних площ у точці перетинання стінки й полки. Одержимо
епюру, зображену на рис.9.15,а.
а б в
Рис.9.15. Зетовий профіль
Для знаходження центра вигину потрібно обчислити інтеграли
де х и в — координати щодо головних центральних осей перетину
(рис.9.15,б).
Для х и у, розглянутих як функції s, можна також побудувати епюри, вони
наведені на рисл.9.15,в і рис.9.16,а.
а б
Рис.9.16. Епюри для зетового профілю
доведеться обчислювати інтеграл від добутку тих же функцій з
однаковими знаками на верхній полиці, з різними — на нижній. Тому
Аналогічно,
Тому потрібно змінити початок відліку секторіальних площ. Додамо до
секториальної площі постійну величину таким чином, щоб
або
Звідси
Епюра головної секторіальної площі представлена на рис.9.16,б.
д) Труба з розрізом (рис.9.17).
Рис.9.17. Труба з розрізом
одержимо
Обчислюємо інтеграл, що входить у другу з формул (9.9):
По формулі (9.9)
Перенесемо полюс у центр вигину. По формулі (9.8)
Залишилося вибрати початок відліку секторіальної площі так, щоб було
Обчислимо тепер секторіальний момент інерції
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
