Рівняння безмоментної теорії оболонок обертання
Відповідно до основного допущення безмоментної теорії, що згинають і скручують моменти, а також поперечні сили вважаються рівними нулю. Із цього допущення виходить, що нормальні напруження і й дотичні напруження і постійні по товщині оболонки, а напруження і — відсутні.
Виділимо нескінченно малий елемент стінки оболонки, обмежений двома близькими меридіональними перетинами і двома кінцевими перетинами, перпендикулярними серединній поверхні (рис. 13.6), і розглянемо його рівновагу.
Крім напружень , , = на виділений елемент діє поверхневе розподілене навантаження, яке можна представити у вигляді трьох складових:
— по нормалі до поверхні;
— по дотичній до меридіана;
— по дотичній до паралелі.
Рис. 13.6. Нескінченно малий елемент стінки оболонки
Уведемо позначення:
— нормальна сила в окружному напрямку;
— нормальна сила в меридіональному напрямку;
— сила, що зрушує.
Внутрішні сили , , прийнято відносити до одиниці довжини дуги: розмірність цих сил — Н/см.
При несиметричному навантаженні оболонки всі величини залежать від двох змінних — від дуги і полярного кута , тому рівняння виходять у частинних похідних.
Складемо рівняння проекцій сил, що діють на елемент оболонки (рис. 13.6), на нормаль до поверхні , на вісь обертання й на дотичну до окружності :
Рівняння моментів у цьому випадку задовольняються тотожно.
Відкинувши величини більше високого порядку малості й виконавши елементарні перетворення з урахуванням залежностей
; ; ,
прийдемо до наступної системи трьох рівнянь із трьома невідомими:
(13.5) | |
(13.6) | |
(13.7) |
де — осьова складова поверхневого навантаження;
(13.8) |
Рівняння (13.5) відомо за назвою рівняння Лапласа. Рівняння (13.5) — (13.7) можуть бути зведені до одного диференційного рівняння другого порядку в частинних похідних з одним невідомим. Рішення цих рівнянь повинно задовольняти граничним умовам на краях. Якщо граничні умови — силові, тобто на краях задані зусилля й , то рішення системи рівнянь (13.5) — (13.7) може бути доведене до кінця. Якщо ж граничні умови – геометричні, тобто на краях задані переміщення, то необхідно додатково використовувати рівняння переміщень.
Перейдемо до виводу рівнянь переміщень. Уведемо позначення:
— складова переміщення довільної точки серединної поверхні по напрямку дотичної до меридіана;
— складова переміщення по напрямку дотичної до паралелі;
— складова переміщення по нормалі до поверхні.
Напрямку переміщень, показані на рис. 13.7, прийняті за позитивні.
Рис. 13.7. Позитивні напрямки переміщень
Переміщення точок N і L відрізняються від переміщень точки М на нескінченно малі збільшення.
Обчислимо відносні лінійні деформації в меридіональному й окружному напрямках і й кутову деформацію в дотичної площини .
За рахунок збільшення переміщення по координаті відрізок меридіана одержує подовження, рівне . За рахунок переходу крапок і на більший радіус той же відрізок одержує подовження, рівне . Склавши ці подовження й розділивши на первісну довжину відрізка , одержимо відносне подовження в меридіональному напрямку
. | (13.9) |
Аналогічно визначимо окружну деформацію. Відрізок , рівний , одержує наступні подовження:
за рахунок збільшення переміщення по координаті ;
за рахунок зсуву точок і уздовж меридіанів;
за рахунок зсуву точок і по нормалі і переходу їх на більший радіус.
Розділивши суму цих подовжень на первісну довжину відрізка , знайдемо відносну окружну деформацію
. | (13.10) |
Кутова деформація дорівнює сумі кутів повороту відрізків і в дотичної площини. Кут повороту відрізка (позначимо його через ) залежить тільки від збільшення переміщення по координаті :
Кут повороту другого відрізка пов’язаний зі збільшенням переміщення по координаті :
Цей кут, однак, залежить не тільки від деформації серединної поверхні, але й від повороту оболонки як жорсткого цілого навколо її осі. Дійсно, при повороті оболонки на деякий кут точка одержить переміщення по окружності, рівне ,
а сусідня з нею точка — переміщення .
Різниця окружних переміщень точок і , розділена на довжину відрізка , дає ту частину кута повороту відрізка , що не залежить від деформації серединної поверхні:
.
Віднімаючи з , знайдемо кут повороту відрізка меридіана , пов’язаний з деформацією зрушення серединної поверхні:
.
Сума кутів і дає кутову деформацію
(13.11) |
Рівняння (13.9) — (13.11) встановлюють залежність між деформаціями , , і компонентами переміщень , , .
Виразимо деформації через зусилля. Відповідно до узагальненого закону Гука:
;
;
.
З урахуванням цих рівностей рівняння (13.9) – (13.11) приймають вид
; | (13.12) |
; | (13.13) |
. | (13.14) |
Якщо зусилля , і вже знайдені, то в отриманій системі трьох рівнянь (13.12) — (13.14) утримуються тільки три невідомих , , . Перетворюя цю систему до одного рівняння з один невідомим, одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних другого порядку, рішення якого також повинно задовольняти граничним умовам на краях оболонки.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter