.

Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом виключення Гауса (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
245 1913
Скачать документ

Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом виключення Гауса

Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом виключення Гауса

До розв’язання систем лінійних рівнянь зводяться численні практичні задачі, наприклад, різні крайові задачі для звичайних і в частинних похідних диференціальних рівнянь. Можна стверджувати, що дана проблема є однією з найпоширеніших і важливих завдань обчислювальної математики.

Нехай задана система  лінійних алгебраїчних рівнянь із  невідомими:

(5.1)

Система рівнянь (5.1) у матричній формі представляється в такий спосіб

(5.2)

де  – квадратна матриця коефіцієнтів, розміром n х n рядків і стовпців;  – вектор-стовпець невідомих; B – вектор-стовпець правих частин. Систему рівнянь (5.2) можна розв’язати різними методами. Одним з найбільш простих і ефективних методів є метод виключення гауса і його модифікації. Алгоритм методу заснований на приведенні матриці A до трикутного виду (прямий хід) і послідовному обчисленні невідомих (зворотний хід). Ці процедури можна виконувати над не виродженими матрицями, у противному випадку метод Гауса не можна застосувати.

Недоліком методу є нагромадження погрішностей у процесі округлення, тому метод Гауса без вибору головних елементів використовується звичайно для розв’язання порівняно невеликих (n?100) систем рівнянь із щільно заповненою матрицею й не близьким до нуля визначником. Якщо матриця A сильно розріджена, а її визначник не близький до нуля, то метод Гауса придатний для розв’язання більших систем рівнянь.

У МАТLAB є великий арсенал методів розв’язання систем рівнянь (5.2) методом виключення гауса. Для цього застосовуються наступні оператори

“/” – праве ділення;

“\” –  ліве ділення;

“^-1” – зведення в степінь -1;

“inv(A)” – обернення матриці A.

Вирази

Х = В/А

X = B*A^-1

X = B*inv(A)

X = A\B

дають розв’язок ряду систем лінійних рівнянь , де  – матриця розміром m x n, B – матриця розміром n x k.

Більш складніші випадки розв’язання систем рівнянь (5.2) з погано обумовленою матрицею  освітлені в роботах [105-108, 195].

Приклад 5.3

Розв’язати систему 4-х лінійних рівнянь:

Протокол програми (у М-файлі)

 

a = [1.1161 0.1397 0.1254 0.1490;
  0.1582 0.1768 1.1675 0.1871;
  0.1968 1.2168 0.2071 0.2271;
  0.2368 0.2568 0.2471 1.2671];
b = [1.5471; 1.6471; 1.7471; 1.8471];

X4 = a\b

Ця програма видає розв’язок заданої системи за допомогою четвертого оператора у вигляді матриці-стовпця.

X4 =  
  1.0406
  0.9351
  0.9870
  0.8813

Увага. У М-файлі матриця а набирається по рядках, а елементи матриці правих частин b відділяються символом ;, тобто теж набираються по рядках. Розв’язання іншими операторами системи рівнянь (5.2) вимагає набору матриці а по стовпцях, а елементи правих частин b відділяються тільки пробілами!

a = [1.1161 0.1582 0.1968 0.2368;
  0.1397 0.1768 1.2168 0.2568;
  0.1254 1.16758 0.2071 0.2471;
  0.1490 0.1871 0.2271 1.2671];
b = [1.5471 1.6471 1.7471 1.8471];

Результат розв’язання

Х1=        
  1.0406 0.9351 0.9870 0.8813
Х2=        
  1.0406 0.9351 0.9870 0.8813
Х3=        
  1.0406 0.9351 0.9870 0.8813

 

Варіанти завдань. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою 4-х операторів. Дані взяти з табл. 5.7.

Таблиця 5.7

1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20
21 22
23 24
25 26
27 28
29 30

 

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020