Рішення рівнянь руху для найпростішої системи.
Повернемося до розгляду найпростішої системи – із двома ступенями свободи (мал.22,а), на прикладі якої простежимо одержання рішення рівнянь руху.
Будемо шукати рішення рівнянь (32) у виді
(40)
Функції (40) не є загальним рішенням рівнянь (32), але дозволяють його побудувати.
Підставляючи (40) у (32), одержимо
або
(41)
Однорідна система (41) має тривіальне рішення , що означає відсутність коливань і інтересу не представляє. Ненульове рішення система (41) має тоді і тільки тоді, коли визначник, складений із коефіцієнтів при амплітудах коливань і , дорівнює нулю:
.
Цей визначник називається частотним, а розкриваючи його, одержимо частотне або вікове рівняння
. (42)
Це частотне рівняння завжди має два дійсних і додатних рішення, тобто система з двома ступенями свободи (мал.22,а) має дві власні частоти
(43)
Таким чином, коливальний процес виявляється двочастотним і визначається функціями і . Щоб відбити в загальному рішенні обидві гармоніки, ускладнимо індексацію і запишемо рішення (40) дещо в іншому виді:
(44)
де в амплітуді індекс i означає номер координати, а індекс j – номер частоти.
Встановимо зв’язок між амплітудами і , використовуючи будь-яке з двох рівнянь (41), наприклад, перше:
. (45)
Підставимо у вираз (45) першу власну частоту і перейдемо до двохіндексного позначення амплітуд (див. вище), тоді одержимо незалежне від початкових умов відношення амплітуд першої гармоніки
. (46)
Аналогічно із того ж співвідношення (45) при одержимо для другої гармоніки
. (47)
Отже, рішення (44) з врахуванням (46) і (47) можна переписати у виді
(48)
У виразах (48) власні частоти й і відношення й залежать тільки від параметрів коливальної системи. Розміри можна визначити з чотирьох початкових умов, що виражають значення зсувів і швидкостей обох мас у початковий момент часу.
Нехай, наприклад, при :
; ;
; ,
тобто рух системи викликано миттєвим ударом по другій масі.
З виражень (48) одержимо:
Звідси знаходимо:
Розміри і можна обчислити по формулах (43), (46) і (47).
Штучним добором початкових умов можна домогтися одночастотності коливань, наприклад, якщо зробити так, щоб , то коливання будуть описуватися одною гармонікою:
Коефіцієнт не залежить від початкових умов, тому розглянуті одночастотні коливання характеризуються цілком визначеним, залежним тільки від параметрів системи, відношенням амплітуд, що залишається незмінним у процесі коливань. Це відношення визначає першу власну форму коливань.
Якщо початкові умови такі, що , то коливання будуть також одночастотними, але з частотою :
при цьому відношення амплітуд визначає другу власну форму коливань.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
