Прямокутна пластинка. Рішення Леві
Розв’язок Л. Нав’є, розглянутий в попередньому параграфі, придатний тільки для прямокутних пластинок, шарнірно обпертої по контуру. Більш загальним є розв’язок М. Леві. Він придатний для прямокутної пластинки, два протилежних краї якої шарнірно обперті, а два інших мають будь-яке закріплення (защемлення, шарнірне обпирання) або вільні.
У пластинки, зображеної на рис. 5.12, шарнірно обпертими є краї OC і AB.
Рис. 5.12. Пластинка із двома шарнірно обпертими краями
Граничні умови на цих краях такі:
| при й | (а) |
Щоб виконати ці умови, функцію прогинів можна взяти у вигляді
| (б) |
де Y — довільна функція одного аргументу y; .
Тому що при й , то функція (б) задовольняє умовам (а) відносно прогинів. Щоб перевірити умови (а) для згинальних моментів, підраховуємо другі частинні похідні функції прогинів (б) по x і y:
| (в) |
При й ці похідні, аналогічно самій функції, звертаються в нуль і, отже, умови (а) відносно згинаючих моментів також виконуються.
Функція (б) повинна задовольняти основному рівнянню вигину пластинки. Підставляючи її четверті похідні в рівняння (5.15), одержуємо
| (г) |
Для розв’язання рівняння (г) розкладемо його праву частину в тригонометричний ряд Фур’є по синусах:
| (д) |
Коефіцієнти ряду Фур’є є тут функцією y. Тому що розкладання виконується на відрізку , то їх визначають по відомій з курсу математичного аналізу формулі
| (е) |
Підставимо ряд (д) у рівняння (г):
Виносячи знак підсумовування за дужки, одержуємо
Ця умова виконується, якщо кожний член ряду дорівнює нулю:
або
| (ж) |
Розв’язок однорідного диференціального рівняння четвертого порядку (ж) дорівнює сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Однорідне рівняння має вигляд
| (з) |
Його розв’язок можна представити так:
| (и) |
Позначивши частинний розв’язок рівняння (ж), одержимо його загальний розв’язок:
| (к) |
Підставляючи функцію у формулу (б), знаходимо
| (л) |
Функція є розв’язком рівняння (5.15) у випадку поперечного навантаження , розподіленого на поверхні пластинки за будь-яким законом, і, як показано вище, задовольняє граничним умовам на шарнірно обпертих краях OC і AB.
Розглянемо побудову частинного розв’язку . Відповідно до правила Коші, частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння четвертого порядку виражається інтегралом
| (м) |
де — права частина розв’язуваного рівняння, що визначається виразом (е) при заміні аргументу y на t, а — частинний розв’язок відповідного однорідного рівняння. Воно задовольнить умовам
| (н) |
При розгляді однорідного рівняння (з) відповідно до формули (і) отримані чотири незалежних частинних розв’язки: , , , . З них умовам (н) задовольняє тільки наступна комбінація:
| (о) |
Замінивши у функціях (о) і (е) аргументи й підставивши ці функції у формулу (м), одержимо шуканий частинний розв’язок рівняння (ж):
Для визначення довільних сталих , , і використовуємо граничні умови на краях OA і BC. Розглянемо пластинку, у якої ці краї жорстко затиснені (рис. 5.12). Тоді маємо наступні граничні умови:
при й
Підставивши в них функцію прогинів (б), одержимо:
Тому що ці умови повинні виконуватися при будь-яких значеннях аргументу x, то
| (п) |
Вносячи в умови (п) функцію (к), одержуємо систему рівнянь для визначення сталих:
звідки
При інших закріпленнях країв OA і BC виходять інші значення сталих.
Ряди у функції прогинів і її похідних сходяться значно швидше, ніж тригонометричні ряди в розв’язку Л. Нав’є, тому розв’язок М. Леві більш зручний в практичних розрахунках навіть прямокутної пластинки, шарнірно обпертої по всьому контурі.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
