Простий радіальний напружений стан. Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
Простий радіальний напружений стан
Для рішення плоскої задачі в напруженнях у полярній системі координат маємо два рівняння рівноваги (4.1) і рівняння нерозривності деформацій (4.3). Однак часто доводиться мати справа з напруженим станом, при якому у всіх точках тіла діють тільки радіальні нормальні напруги . Інші складові напруг, як і складових об’ємних сил, дорівнюють нулю. Такий напружений стан називається простим радіальним.
У цьому випадку одне рівняння рівноваги обертається в тотожність, а інше рівняння і рівняння нерозривності деформацій значно спрощуються:
| (а) |
Систему рівнянь (а) можна проінтегрувати у загальному виді методом Фур’є. Для цього представимо напруження , що є функцією двох змінних і , у вигляді добутку двох функцій:
| (б) |
перша з яких є функцією тільки однієї змінної , а друга — тільки змінної .
Підставляючи функцію (б) у рівняння (а), одержуємо два звичайних диференціальних рівняння із двома невідомими функціями й :
| (в) |
Перше рівняння (в) після розподілу на дає
звідки після поділу змінних
Інтегруючи, одержуємо
або
Потенцюючи, знаходимо функцію
| (г) |
Для відшукання функції підставимо знайдену функцію в друге рівняння (в):
Після розподілу на дріб одержуємо диференціальне рівняння
Його рішення представляється у вигляді
| (д) |
Підставляючи рішення (г) і (д) у вираз (б), знаходимо
| (е) |
Для зручності подальших викладень уведемо нові довільні постійні і :
Тоді функція (е) приймає вид
| (4.6) |
або, якщо застосувати тригонометричну формулу перетворення косинуса різниці двох кутів,
Отже, простий радіальний напружений стан представляється наступними напруженнями:
| (4.7) |
Постійні і визначаються із граничних умов.
Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
Рішення (4.7) можна застосувати до задачі про клин, у вершині якого прикладена сила довільного напрямку (рис. 4.3). Кут розтвору клина дорівнює . Початковий радіус-вектор збігається з бісектрисою кута. Лінія дії сили становить із початковим радіус-вектором кут .
Рис. 4.3. До задачі про клин
Покажемо, що в цьому випадку клин перебуває в простому радіальному напруженому стані. Для цього скористаємося виразом напруження у формі (4.6):
| (4.8) |
і визначимо постійні й , при яких задовольняються граничні умови поставленої задачі.
Виключимо з розгляду закріплення нижньої крайки клина, що впливає на розподіл напружень тільки поблизу від місця закріплення.
На бічних поверхнях клина, тобто при , . З формул (4.8) виходить, що ця умова тотожно виконується у всіх точках бічної поверхні, крім полюса . У полюсі при зазначені формули неприйнятні. Для включення в граничні умови сили замінимо її на підставі принципу Сен-Венана еквівалентним навантаженням, розподіленим по дузі малого радіуса (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Заміна зосередженої сили еквівалентним навантаженням
Розглянемо рівновагу елемента клина, що відсікається дугою довільного радіуса . Спроектуємо всі сили, прикладені до цього елемента, на вертикальну і горизонтальну осі. Приймаючи товщину клина в напрямку, перпендикулярному площині малюнка, рівній одиниці, одержимо:
Після підстановки напруження з формул (4.8) при ці умови рівноваги перетворяться в наступні:
| (а) |
Інтегруючи, одержуємо систему двох рівнянь для визначення постійних і :
звідки
| (б) |
Розділивши почленно друге рівняння (б) на перше, одержуємо умову для визначення постійної :
| (4.9) |
Зведемо обидва рівняння (б) у квадрат і складемо:
Добуваючи корінь, знаходимо
| (4.10) |
Таким чином, вдалося задовольнити граничним умовам і, отже, розглянутий клин перебуває в простому радіальному напруженому стані. При цьому постійні й визначаються формулами (4.9) і (4.10).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
