.

Приклади визначення переміщень інтегруванням диференціального рівняння зігнутої осі балки (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
1 1375
Скачать документ

Приклади визначення переміщень інтегруванням диференціального рівняння зігнутої осі балки

Розглянемо кілька прикладів визначення деформацій балок методом безпосереднього інтегрування основного диференціального рівняння (8.44), а потім установимо правила побудови епюр кутів повороту й прогинів, які необхідні при дослідженні деформованого стану балок при складній системі навантажень.

Визначимо  й  для консолі постійного поперечного перерізу із зосередженою силою  на вільному кінці (мал.8.42).

Згинальний момент у перерізі х будемо обчислювати як результат дії зовнішніх сил, розташованих ліворуч від перерізу:

Підставляючи вираз для М(х) у рівняння (8.44), одержимо

Інтегруємо двічі:

Для визначення постійних С и D маємо граничні умови:

1) при

2) при .

Із другої умови

звідки

(8.50)

тоді

З першої умови

звідки

.(8.51)

Остаточні рівняння прогину й кута повороту наступні:

(8.52)
(8.53)

Пружна лінія балки (8.52) являє собою параболу третього ступеня.

Тепер можна визначити  й . Як легко переконатися, що  й  мають місце на вільному кінці балки в точці А (при х = 0). Отже,

(8.54)
(8.55)

Негативне значення  показує, що прогин відбувається в напрямку, протилежному напрямку осі w (тобто вниз). Позитивний кут повороту  показує, що поворот перерізу відбувається проти годинникової стрілки.

Порівнюючи вирази (8.50), (8.51) для довільних постійних з виразами (8.55), (8.54) для  й , переконуємося, що С дорівнює куту повороту на вільному кінці консолі (при х = 0), a D дорівнює прогину вільного кінця консолі (при х = 0).

Побудуємо епюри прогинів і кутів повороту для простої балки постійного перерізу (мал.8.43), що несе суцільне рівномірно розподілене навантаження .

Рис.8.43. Шарнірна балка постійного перерізу

Опорні реакції

Згинальний момент у довільному перерізі

Складаємо диференціальне рівняння вигнутої осі:

Інтегруючи його двічі, одержуємо

(8.56)
(8.57)

Граничні умови  наступні:

1) на лівому кінці прогин дорівнює нулю, тобто при

2) на правому кінці прогин дорівнює нулю, тобто при

Перша умова дає

(8.58)

Друга умова дає

звідки

(8.59)

Підставивши обчислені значення довільних постійних у рівняння (8.56) і (8.57), одержимо рівняння пружної лінії

(8.60)

і рівняння кутів повороту

(8.61)

Для побудови епюр  і  обчислимо кути повороту по кінцях балки, а також прогин посередині прольоту  Кути повороту на опорах знайдемо з рівняння (8.61). При  одержимо величину кута повороту на лівій опорі:

(8.62)

На правій опорі, тобто при ,

Порівнюючи значення довільних постійних С и D з виразами для  й , знову переконуємося, що вони відповідно дорівнюють куту повороту й прогину на тій опорі, де перебуває початок координат:

 

Відзначимо, що таким буде геометричний зміст довільних постійних на ділянці, що примикає до початку координат, для будь-якої балки при довільному навантаженні.

Підставивши в рівняння (8.60) , обчислимо величину прогину

(8.63)

З рівняння (8.60) пружної лінії заключаємо, що балка згинається по кривій, що є параболою четвертого порядку. Так як згинальний момент по всій довжині балки позитивний, то, виходить, усюди стиснені верхні волокна й, отже, балка згинається опуклістю вниз.

Обчисливши величини прогинів у різних перерізах, відкладаємо їх у певному масштабі вниз від базисної лінії. З’єднавши кінцеві точки відкладених відрізків кривій, одержуємо епюру прогинів w. Епюра прогинів у прийнятому масштабі зображує вигнуту вісь розглянутої балки.

Для побудови епюри  відкладемо обчислені значення  й  від базисної лінії вниз і вгору відповідно. З умови симетрії балки й навантаження маємо, що переріз на осі симетрії (тобто ) не повертається. Виходить,

Відповідно до рівняння (8.61) епюра кутів повороту повинна бути обкреслена параболою третього порядку. Будуємо епюру по точках (мал.8.43), обчисливши проміжні ординати:

При цьому параболічна крива на лівій половині балки звернена ввігнутістю вгору, а на правої — вниз.

Розглянемо ще один випадок визначення переміщень. Для простої балки постійного поперечного перерізу, навантаженою силою  в точці С (мал.8.44), необхідно:

а) знайти рівняння пружної лінії й кутів повороту;

б) обчислити прогини в точці С і посередині прольоту, а також визначити положення й величину стріли прогину;

в)обчислити кути нахилу перерізів у точках А, В і С;

г)побудувати епюри Q, М,  і w приймаючи

Рис.8.44. Визначення переміщень у шарнірній балці

Надамо цей приклад для самостійного рішення. Укажемо лише, що на кожній з ділянок балки при інтегруванні диференціальних рівнянь пружної лінії будуть отримані по дві довільні постійні. Для їхнього  визначення до двох опорних умов балки повинні бути додані умови плавного й безперервного сполучення ділянок АС і СВ у точці С при х = а:

Ці додаткові умови виражають відсутність розриву й відсутність зламу пружної лінії балки під силою .

Для самоконтролю приводимо остаточні рівняння прогинів і кутів повороту:

для ділянки АС

(8.64)
(8.65)

для ділянки ВС

(8.66)
(8.67)

Епюри Q, М,  і w зображені на мал.8.45 і 8.45,а

Рис.8.45. Епюри Q, М

Рис.8.45,а. Епюри  й w

 

Скористаємося результатами цього прикладу для того, щоб визначити абсциси перерізів з найбільшим прогином і величини f при різних положеннях вантажу  на балці. Найбільший прогин буде мати місце в перерізі  де

(8.68)

При  цей переріз знаходиться на ділянці АС.

Прирівнявши нулю рівняння (8.65), одержимо

(8.69)

Досліджуємо, як буде мінятися абсциса перерізу з найбільшим прогином при переміщенні сили  від середини балки до правої опори.

При  абсциса  Виходить, навіть у граничному випадку, коли вантаж  підійде до опори В, точка з найбільшим прогином буде перебувати від середини балки на відстані всього

Помітимо, що на такій же відстані від середини прольоту перебуває найбільший прогин і у випадку, коли балка на двох опорах навантажена моментом, що діє над однією з опор.

Підставивши вираз (8.69) у рівняння (8.64) для пружної лінії на ділянці АС, одержимо формулу для

(8.70)

Прогин посередині прольоту знайдемо з рівняння (8.64), підставивши :

(8.71)

Аналіз формул (8.69) і (8.64) показує, що навіть при  різниця між прогином посередині балки й максимальним прогином не перевищує 3%. Отже, прогин балки посередині прольоту  приблизно дорівнює найбільшому прогину f. Цей висновок застосовний при дії на балку будь-яких навантажень, що викликають вигин в одну сторону.

У багатьох випадках побудова епюр  і  можлива й без складання аналітичних виразів для прогинів і кутів повороту по ділянках: досить лише обчислити прогини й кути повороту для деяких характерних перерізів. При побудові ж епюр варто користуватися правилами, які можуть бути отримані на основі аналізу диференціальних залежностей, що існують між Q, М,  і w.

Запишемо ці залежності в зручній для аналізу формі. З рівняння (8.44) з врахуванням виразу (8.40) знаходимо, що

(8.72)

Продиференціював рівняння (8.72) по х і, з огляду на залежність  одержимо

(8.73)

Таким чином, маємо дві групи диференціальних залежностей

(8.74)
(8.75)

аналогічних залежностям, на підставі яких були отримані правила для побудови епюр Q і М (розділ 1). Вираз (8.74), (8.75), а також зіставлення побудованих епюр дозволяють установити загальні для будь-яких балок залежності між епюрами Q, М,  і w, які будуть надалі служити правилами побудови епюр. Укажемо найбільш важливі із цих правил:

  1. Так як М(х) — похідна епюри кутів повороту , то ординати епюри М пропорційні тангенсу кута нахилу дотичної до епюри . У перерізах, де М(х) = 0, дотична до кривої повинна бути паралельна осі абсцис (мал.8.43 і 8.45, перерізу А і В). Стрибку на епюрі моментів відповідає кутова точка на епюрі .
  2. Якщо згинальний момент дорівнює нулю протягом якої-небудь ділянки балки, то на цій ділянці епюра прямокутна, а епюра w прямолінійна, але, загалом кажучи, похила.
  3. На ділянках, де діє постійний момент (на ділянках, що перебувають в умовах чистого згину), епюра прямолінійна й похила, а епюра w — параболічна.

Тут виявляється протиріччя з викладеним вище твердженням, що при чистому згині кривизна постійна к = const, і балка згинається по дузі окружності. Причина цього в наближеності диференціального рівняння пружної лінії, яким ми користуємося для виводу рівняння (8.72). Строго говорячи, при чистому згині балка згинається по дузі окружності, що у межах малих деформацій з досить великою точністю може бути представлена квадратичною параболою.

  1. Друга похідна прогину має знак моменту. Якщо момент позитивний (стиснені верхні волокна), то ввігнутість на епюрі w буде звернена убік позитивних w (вгору). При негативному моменті ввігнутість параболи звернена вниз. Так як ординати епюр згинальних моментів ми домовилися відкладати з боку стиснених волокон, то ввігнутість епюри прогинів w завжди звернена в ту сторону, з якої розташовані ординати епюри згинальних моментів. У перерізі, де діє зосереджений момент М, маємо точку перегину пружної лінії.
  2. Друга похідна кута повороту має знак поперечної сили. Якщо Q позитивна, то опуклість на епюрі буде звернена вниз. При Q < 0 опуклість спрямована убік осі , тобто вгору. У перерізі, де Q міняє знак, на епюрі маємо точку перегину.
  3. На тих ділянках балки, де епюра М змінюється за лінійним законом (наприклад, на ділянках АС і СВ мал.8.45) епюра буде квадратичною параболою, а епюра w — параболою третього порядку.
  4. Так як являє собою графік зміни по довжині балки тангенсів кутів нахилу дотичних до пружної лінії, то можна стверджувати наступне:

а) на ділянках, де в напрямку осі х прогин w зростає, кут нахилу  буде позитивний, і навпаки, при зменшенні w кути нахилу  будуть негативні;

б) у перерізах, де  = 0, дотична до епюри w горизонтальна, тобто тут на епюрі w виходить аналітичний максимум або мінімум.

  1. У тих перерізах, де на балці розташовані проміжні шарніри, на епюрі кутів повороту будуть скачки. На епюрі w у цих перерізах виходять переломи, тобто кутові точки, у яких стрибкоподібно змінюється кут нахилу дотичної до епюри w.

Перераховані особливості епюр дозволяють по їхньому вигляді встановити, чи не допущені принципові помилки при побудові.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019