Приклади стиснутого крутіння
Деякі приклади стиснутого крутіння
Загальне рішення задачі про стиснуте крутіння тонкостінного стрижня дається формулою (9.26). Величина представляє собою крутний момент у перетині з координатою z, що визначається аналогічно згинальному моменту в теорії згинання: це є сума моментів щодо осі z всіх сил, що діють ліворуч від перетину з координатою z, або сума сил, що діють праворуч від перетину, узята зі зворотним знаком. У реальних конструкціях на стрижні діють або зосереджені моменти, або моменти, рівномірно розподілені по довжині. На рис.9.19 схематично показаний стрижень, завантажений моментом у перетині з координатою і безупинно розподіленим моментом інтенсивності на одиницю довжини на ділянці
Рис.9.19. Стержень під дією крутного навантаження
Крутний момент, створюваний зосередженим моментом , дорівнює Дійсно, цей момент дорівнює нулю при і дорівнює при .
Крутний момент від розподіленого моменту дорівнює нулю при дорівнює при і зберігає постійне значення при Це можна записати в такий спосіб:
Щоб застосувати формулу (9.26), потрібно обчислити інтеграли від функцій і помножених на Але ці інтеграли обчислювалися раніше. Тому при зроблених обмеженнях навантаження формулу (9.26) можна переписати в такий спосіб:
| (9.32) |
Знадобляться ще вирази для бімомента для гнучко-крутильного моменту і для кута повороту перетину
| (9.33) | |
| (9.34) | |
| (9.35) |
Вирази, укладені у квадратні дужки у формулах (9.33) і (9.35), повинні вважатися рівними нулю при , і відповідно. Символ «л», поставлений під знаком суми, указує, що, наприклад, у формулі (9.33) член пишеться тільки тоді, коли зроблене застереження змушує відкидати при й негативну одиницю яка стоїть поруч. Більш коректний запис, що виключає всяку неясність, був би наступним:
| (9.36) |
Тут при й при . Для визначення постійних і необхідно пам’ятати, що в тім перетині, що не викривляється, а там, де немає нормальних напружень.
Приклад 9.1.
Тонкостінна трубка розрізана уздовж утворюючої на довжині і закручується прикладеними на кінцях моментами. Потрібно визначити кут закручування (рис.9.20).
Рис.9.20. Наприклад 9.1
Вважаємо нерозрізані кінці трубки нескінченно жорсткими й відповідно перетини такими що не викривляються.
Тоді По формулі (9.32) одержуємо:
Звідси
Тепер можна визначити повний кут закручування по формулі (9.35), підставивши в неї знайдене значення , поклавши й і удержавши член, що відповідає зосередженому моменту при . Одержимо:
Якби трубка була розрізана по всій довжині (нестиснене, крутіння) зв’язок між кутом закручування й моментом був б наступним:
Стисненне крутіння підвищує жорсткість, в отриманій формулі як би фігурує зменшена довжина трубки. Величина для розрізаної трубки дорівнює
Якщо то вираз, укладений у квадратну дужку у формулі для , мало відрізняється від ; якщо мале в порівнянні з , гіперболічні функції можна розкласти в ряди. Утримуючи перші члени, що не знищуються, одержимо
Бімомент досягає найбільшої величини в кінцевих перетинах трубки:
Нормальні напруження
На рис.9.21 побудована епюра нормальних напружень для кінцевого перетину. Відкладена по радіусі величина являє собою
Рис.9.21. Епюра нормальних напружень для кінцевого перетину
Найбільше значення нормального напруження досягається при (або ):
Аналогічним образом можна підрахувати крутильні й згинально-крутильні напруженняи.
Приклад 9.2.
Балка швелерного перетину рівномірно завантажена по поверхні верхньої полиці; це рівномірне навантаження можна замінити навантаженням уздовж лінії, що проходить по середині полиці. Таким чином, лінійне навантаження q прикладене в площині, що проходить через середини полиць (рис.9.22).
Рис.9.22. Наприклад 9.2
Крутний момент на одиницю довжини дорівнює моменту цього навантаження щодо осі, що проходить через центр вигину:
Тут — відстань від середини стінки до центра вигину. Будемо вважати, що балка має довжину , кінці її шарнірно обперті й не можуть повертатися щодо осі z, але вони можуть вільно переміщатися уздовж осі z; нормальні напруження, а отже, і бімоменти дорівнюють нулю на кінцях.
Для знаходження бімомента скористаємося рівнянням (9.32), поклавши в ньому . З умови одержимо
отже,
Найбільші значення бімомента досягається в середині балки при
У цьому ж перетині буде найбільший згинальний момент.
Для того щоб оцінити значення секторіальних напружень, укажемо, що для швелера № 20а при довжині балки 2 м і навантаженні найбільше напруження від дорівнює а від бімомента причому ці напруження складаються.
Секторіальні характеристики для стандартних профілів наводяться в літературі.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
