.

Приклад визначення напруги й прогину пластини з лінійно змінюваною товщиною (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
224 628
Скачать документ

Приклад визначення напруги й прогину пластини з лінійно змінюваною товщиною

Приклад. Визначити напруження і прогин пластини з лінійно, змінюваною товщиною, шарнірно обпертої по зовнішньому краю (рис. 12.26) і навантаженою силою P.

Дано: ; ; .

Рис. 12.26. Наприклад 12.10

Рішення.

Параметр у цьому випадку дорівнює одиниці; рівняння (12.76) приймає вид

Відповідно,

Запишемо граничні умови:

при  або

при  або

Після підстановки функцій  і

рішення яких дає

Остаточно

По функції  визначимо згинальні моменти

Епюри моментів наведені на рис. 12.26.

Максимальне напруження при

і при

Максимальний прогин

Знайдені напруження цікаво зіставити з напруженнями, обчисленими по теорії кілець із недеформівним контуром поперечного переріза. По зазначеній теорії напруження мають постійне значення уздовж променів, що виходять із крапки перетинання нейтральної площини з віссю кільця:

де M — згинальний момент у поперечному перерізі, обумовлений по рівнянню рівноваги половини кільця;

— геометрична характеристика перетину кільця;

z і r — координати довільної точки перетину:

для внутрішніх точок

для зовнішніх крапок

У результаті підстановки зазначених значень одержимо

Це напруження приблизно в 1,5 рази менше максимального напруження, знайденого по теорії згину пластин. При малій товщині пластини розрахунок по теорії деформації кілець менш точний. Однак, якщо товщина  порівнянно з радіусом , то розрахунок по теорії пластин стає наближеним і більш виправданим буде розрахунок по теорії кілець.

Помітимо, що для пластини, розглянутої в прикладі 12.10, при навантаженні її рівномірно розподіленим тиском p рішення по рівнянню (12.76) непридатно, тому що при  й  знаменник дробу в одному з доданків звертається в нуль. У цьому випадку варто заново знайти приватне рішення диференціального рівняння (12.71), що при зазначених значеннях  і  й при  приймає вид

Його приватним рішенням буде

(12.77)

Задача про згин пластин з більш складним законом зміни товщини по радіусу зустрічаються при розрахунку дисків турбомашин, навантажених осьовими силами. Розглянемо рішення подібної задачі чисельним методом. У якості основних змінних приймемо безрозмірні величини:

(12.78)

де r і R — поточні і зовнішній радіуси;

— жерсткість у деякій фіксованій точці.

Використовуючи вихідні рівняння теорії круглих пластин, виразимо перші похідні від , , ,  по :

(12.79)

але на підставі залежності (12.29)

отже,

(12.80)

Далі

Похідну  визначимо по рівнянню рівноваги (12.32):

або з урахуванням залежності (12.49)

отже,

(12.81)

На підставі рівняння рівноваги (12.31)

(12.82)

де  — інтенсивність розподіленого навантаження, Н/див2.

Запишемо рівняння (12.79)-(12.82) у матричній формі

(12.83)

де  — вектор напружено-деформованого стану в довільній точці пластини;

M — матриця коефіцієнтів;

(12.84)

F — матриця-стовпець доданків, що залежать від навантаження;

(12.85)

У такому виді рівняння згину круглих пластин запропоновані В.Л. Бідерманом.

Основні труднощі чисельного рішення рівняння (12.83) полягають у тім, що на підставі граничних умов у початковій крапці бувають відомі тільки деякі початкові значення функцій , , , . Інші ж повинні бути визначені по граничних умовах у зовнішньому краї пластини. Так, наприклад, для пластини, зображеної на рис. 12.26, у початковій точці (при ) відомі

тобто

тобто

Початкові значення двох інших функцій підлягають визначенню по граничних умовах при . У даному прикладі

тобто

тобто

Щоб вирішити цю задачу, застосовують спосіб трьох розрахунків. Вектор стану X представляють у вигляді суми трьох векторів

(12.86)

де  й  — невизначені коефіцієнти. Вектор першого розрахунку  обчислюють без обліку розподіленого навантаження, тобто при ; при цьому в початковій точці приймають

(при граничних умовах, що відповідають схемі, зображеної на рис. 12.26).

У другому розрахунку визначають значення  також без врахування розподіленого навантаження ( ), при наступних значеннях початкових параметрів:

У першому і другому розрахунку за одиницю по черзі приймають значення тих початкових параметрів, які невідомі.

Третій розрахунок виконують із урахуванням заданих навантажень (з врахуванням що складається F) при значенні ректора  в початковій точці:

Помітимо, що при іншій схемі пластини значення початкових параметрів будуть інші. Якщо, наприклад, внутрішній край пластини жорстко забитий, те , а  й Q невідомі, отже,

Очевидно, що при початкових параметрах, обраних зазначеним способом, сумарний вектор X [див. (12.86)] буде задовольняти граничним умовам у початковій точці при будь-яких значеннях  і . Підбором цих коефіцієнтів необхідно забезпечити виконання граничних умов також і в зовнішній точці пластини. Для пластини, зображеної на рис. 12.26, наприклад, при визначенні  й  необхідно використовувати наступні два рівняння:

Після того, як коефіцієнти  й  визначені, доцільно ще раз прорахувати пластину, прийнявши дійсні значення початкових параметрів.

По знайдених компонентах вектора X визначають w, ,  і Q. Момент  обчислюють по залежності (12.49).

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020