Приклад визначення напруги й прогину пластини з лінійно змінюваною товщиною
Приклад. Визначити напруження і прогин пластини з лінійно, змінюваною товщиною, шарнірно обпертої по зовнішньому краю (рис. 12.26) і навантаженою силою P.
Дано: ; ; .
Рис. 12.26. Наприклад 12.10
Рішення.
Параметр у цьому випадку дорівнює одиниці; рівняння (12.76) приймає вид
Відповідно,
Запишемо граничні умови:
при або
при або
Після підстановки функцій і
рішення яких дає
Остаточно
По функції визначимо згинальні моменти
Епюри моментів наведені на рис. 12.26.
Максимальне напруження при
і при
Максимальний прогин
Знайдені напруження цікаво зіставити з напруженнями, обчисленими по теорії кілець із недеформівним контуром поперечного переріза. По зазначеній теорії напруження мають постійне значення уздовж променів, що виходять із крапки перетинання нейтральної площини з віссю кільця:
де M — згинальний момент у поперечному перерізі, обумовлений по рівнянню рівноваги половини кільця;
— геометрична характеристика перетину кільця;
z і r — координати довільної точки перетину:
для внутрішніх точок
для зовнішніх крапок
У результаті підстановки зазначених значень одержимо
Це напруження приблизно в 1,5 рази менше максимального напруження, знайденого по теорії згину пластин. При малій товщині пластини розрахунок по теорії деформації кілець менш точний. Однак, якщо товщина порівнянно з радіусом , то розрахунок по теорії пластин стає наближеним і більш виправданим буде розрахунок по теорії кілець.
Помітимо, що для пластини, розглянутої в прикладі 12.10, при навантаженні її рівномірно розподіленим тиском p рішення по рівнянню (12.76) непридатно, тому що при й знаменник дробу в одному з доданків звертається в нуль. У цьому випадку варто заново знайти приватне рішення диференціального рівняння (12.71), що при зазначених значеннях і й при приймає вид
Його приватним рішенням буде
(12.77) |
Задача про згин пластин з більш складним законом зміни товщини по радіусу зустрічаються при розрахунку дисків турбомашин, навантажених осьовими силами. Розглянемо рішення подібної задачі чисельним методом. У якості основних змінних приймемо безрозмірні величини:
(12.78) |
де r і R — поточні і зовнішній радіуси;
— жерсткість у деякій фіксованій точці.
Використовуючи вихідні рівняння теорії круглих пластин, виразимо перші похідні від , , , по :
(12.79) |
але на підставі залежності (12.29)
отже,
(12.80) |
Далі
Похідну визначимо по рівнянню рівноваги (12.32):
або з урахуванням залежності (12.49)
отже,
(12.81) |
На підставі рівняння рівноваги (12.31)
(12.82) |
де — інтенсивність розподіленого навантаження, Н/див2.
Запишемо рівняння (12.79)-(12.82) у матричній формі
(12.83) |
де — вектор напружено-деформованого стану в довільній точці пластини;
M — матриця коефіцієнтів;
(12.84) |
F — матриця-стовпець доданків, що залежать від навантаження;
(12.85) |
У такому виді рівняння згину круглих пластин запропоновані В.Л. Бідерманом.
Основні труднощі чисельного рішення рівняння (12.83) полягають у тім, що на підставі граничних умов у початковій крапці бувають відомі тільки деякі початкові значення функцій , , , . Інші ж повинні бути визначені по граничних умовах у зовнішньому краї пластини. Так, наприклад, для пластини, зображеної на рис. 12.26, у початковій точці (при ) відомі
тобто
тобто
Початкові значення двох інших функцій підлягають визначенню по граничних умовах при . У даному прикладі
тобто
тобто
Щоб вирішити цю задачу, застосовують спосіб трьох розрахунків. Вектор стану X представляють у вигляді суми трьох векторів
(12.86) |
де й — невизначені коефіцієнти. Вектор першого розрахунку обчислюють без обліку розподіленого навантаження, тобто при ; при цьому в початковій точці приймають
(при граничних умовах, що відповідають схемі, зображеної на рис. 12.26).
У другому розрахунку визначають значення також без врахування розподіленого навантаження ( ), при наступних значеннях початкових параметрів:
У першому і другому розрахунку за одиницю по черзі приймають значення тих початкових параметрів, які невідомі.
Третій розрахунок виконують із урахуванням заданих навантажень (з врахуванням що складається F) при значенні ректора в початковій точці:
Помітимо, що при іншій схемі пластини значення початкових параметрів будуть інші. Якщо, наприклад, внутрішній край пластини жорстко забитий, те , а й Q невідомі, отже,
Очевидно, що при початкових параметрах, обраних зазначеним способом, сумарний вектор X [див. (12.86)] буде задовольняти граничним умовам у початковій точці при будь-яких значеннях і . Підбором цих коефіцієнтів необхідно забезпечити виконання граничних умов також і в зовнішній точці пластини. Для пластини, зображеної на рис. 12.26, наприклад, при визначенні й необхідно використовувати наступні два рівняння:
Після того, як коефіцієнти й визначені, доцільно ще раз прорахувати пластину, прийнявши дійсні значення початкових параметрів.
По знайдених компонентах вектора X визначають w, , і Q. Момент обчислюють по залежності (12.49).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter