Приклад визначення кутів повороту опорних перерізів і прогинів для
триступінчастої балки, що лежить на двох опорах
Рішення
Визначаємо опорні реакції й будуємо епюри згинальних моментів і
поперечних сил. Розріжемо балку на три частини в місцях сполучення
ступенів. На мал.8.56,б зображені окремі частини балки, що перебувають
під дією зовнішніх сил і внутрішніх зусиль Q і М у місцях розрізів.
б
в
Рис.8.56. Наприклад 8.9
перерізу його середньої частини. Коефіцієнти приведення наступні:
.
Обчислюємо додаткові сили:
Обчислюємо додаткові моменти:
Еквівалентна балка із прикладеними до неї навантаженнями зображена на
мал.8.56,г. Щоб переконатися в правильності підрахунків завантаження
еквівалентної балки, перевіряємо, чи дотримані умови її рівноваги:
Перейдемо до визначення переміщень за допомогою методу початкових
параметрів. Візьмемо переріз на крайній правій ділянці й запишемо для
нього рівняння пружної лінії:
(8.137)
Початкові параметри знаходимо з опорних умов:
.
:
звідки
. Одержимо:
звідки знаходимо, що
(8.139)
Стрижні з неперервно-мінливими по довжині розмірами перерізів. Якщо
розміри перерізу стрижня безперервним образом змінюються по довжині, то
формули, отримані на підставі гіпотези плоских перерізів, стають,
загалом кажучи, невірними (як і сама гіпотеза). Однак деякі точні
рішення теорії пружності показують, що в тому випадку, коли кут нахилу
утворюючої поверхні стрижня до осі невеликий (не перевищує 15—20°), з
достатньої для інженерної практики точністю можна приймати розподіл
нормальних напруг по висоті перерізу прямолінійним. Тоді, природно,
можна користуватися звичайною умовою міцності й диференціальним
рівнянням пружної лінії, тобто
(8.141)
Дотичні напруження більше чутливі до нахилу утворюючих поверхні стрижня,
тому формула Журавського в застосуванні до стрижнів змінного перетину
дає значні погрішності.
Розрахунок на міцність і жорсткість стрижнів змінного перерізу
ускладнюється тою обставиною, що момент опору й момент інерції перерізу
є функціями абсциси х перерізу. На це вказують і позначення у формулах
(8.140) і (8.141). Останню формулу можна записати в трохи зміненому
виді.
момент інерції якого-небудь перерізу (звичайно найбільшого або
найменшого) і введемо поняття наведеного згинального моменту
чисельник і знаменник правої частини формули (8.141), одержимо
мають різний сенс.
Частковим випадком балок з неперервно мінливими по довжині розмірами
перерізів є балки рівного опору згину, у всіх перерізах яких максимальна
напруга дорівнює допустимій, тобто
Звідси одержують рівняння для визначення розмірів балки рівного опору:
(8.144)
Задавшись якою-небудь формою перерізу (причому, таким чином, щоб розміри
його визначалися тільки одним параметром), з рівняння (8.144) знаходимо
закон зміни цього параметра по довжині балки. Тим самим визначаємо
розміри всіх перерізів. Для знаходження переміщень можна користуватися
диференціальним рівнянням пружної лінії (8.143).
й змінною висотою (мал.8.57).
Рис.8.57. Консоль рівного опору згину
. Тоді
крім того, очевидно,
тому, відповідно до рівняння (8.144),
звідки
Отже, висота розглянутої балки рівного опору буде змінюватися за
параболічним законом (мал.8.57,б). При цьому
:
звідки
Побудована балка параболічного обрису найбільш раціональна з погляду
економії матеріалу, однак через складність форми не задовольняє
технологічним вимогам. Тому на практиці застосовують не балки рівного
опору, а близькі до них східчасті стрижні.
.
.
Рис.8.58. Балка рівного опору із прямокутним перерізом
У силу симетрії для визначення форми балки досить розглянути тільки ліву
половину прольоту. Тоді
Підставляючи ці вирази у формулу (8.144), одержимо
звідки
буде посередині прольоту:
цієї балки. Відповідно до виразів (8.142) і (8.143) маємо
де
У цьому випадку
так що
і, виходить,
На мал.8.58,б показані епюри М и Q, а також епюра наведених згинальних
моментів.
Таким чином, диференціальне рівняння пружної лінії для лівої половини
прольоту має вигляд
Двічі інтегруючи його, одержуємо
joe
j<
Для знаходження постійних С и D використовуємо симетрію пружної лінії
(вона показана штриховою лінією на мал.8.58,а):
звідси
тоді
виходить,
і, отже,
на мал.8.58,б показана штриховим контуром). Для такої балки
максимальний прогин
Таким чином, балка рівного опору має вдвічі меншу вагу, чим балка
постійного перерізу, а максимальний прогин її в півтора рази більше,
тобто
виходить незначним, і звичайно міцність біля кінців забезпечується
конструктивним пристроєм, необхідним для обпирання балки.
зображених на мал.8.59,в. Склавши ці смуги разом, одержимо
представлену на мал.8.59,г листову ресору.
а
б
в
Рис.8.59. До розрахунку листової ресори
) буде мати вигляд
(8.147)
а найбільший прогин
(8.148)
де
Для ресори, показаної на мал.5.60,а, відповідна балка рівного опору має
форму трикутника (мал.5.60,б) і, очевидно,
Тому умова міцності має вигляд
(8.149)
а найбільший прогин
(8.150)
а
Рис.8.60. Ресора й відповідна балка рівного опору
) і знайти максимальний прогин.
Рішення
Тоді
За умовою міцності (8.147)
Отже, ресора міцна.
, знаходимо
.
На закінчення відзначимо, що наведений вище спосіб розрахунку листових
ресор у відомій мірі умовний, тому що:
1) не враховує тертя між листами ресори;
2) у дійсності листи ресори стикаються один з одним не всюди, а
тільки в окремих точках, внаслідок чого кривизна листів при деформації
неоднакова, а значить, і напруги в них різні.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
