.

Приклад розрахунку прямокутної пластини (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 566
Скачать документ

Приклад розрахунку прямокутної пластини

Приклад. Прямокутна пластина з розмірами  й , товщиною , шарнірно обперта по двох сторонах (рис. 12.4,а), навантажена рівномірним тиском ; матеріал пластини — сталь; ; . Визначити напруження і прогин.

Рис. 12.4. До прикладу 12.1

Реакції опор і згинальний момент визначається так само, як для звичайних балок. Найбільший згинальний момент  виникає в середині прольоту; Цей момент, віднесений до одиниці ширини пластини,

Відповідне максимальне напруження

Згинальний момент і нормальне напруження в поперечному напрямку в  раз менше і дорівнює відповідно:

Прогин обчислимо по диференційному рівнянню зігнутої поверхні (12.11):

Замість моменту  в це рівняння підставлений вираз моменту в поточному перетині:

Після дворазового інтегрування одержимо

Постійні інтегрування A і B визначимо по граничних умовах:  при  й  при . Відповідно до першої умови, , тоді по другій умові .

Остаточно

Максимальний прогин

де

Досліджуємо характер напружено-деформованого стану біля бічних крайок пластини. Розглянутий стан представимо як результат накладення двох станів, показаних на рис. 12.4, б і в.

У стані, зображеному на рис. 12.4, б, крім заданого тиску p, по бічних крайках пластини прикладений момент  такої ж величини і розподілений по такому ж закону, як момент  при циліндричному згинанні. У стані, зображеному на рис. 12.4, в, пластина навантажена одним тільки моментом  зворотного напрямку. При накладенні цих двох станів моменти на бічних крайках пластини взаємно погашаються і виходить задана схема навантаженя. Напружений стан при навантаженні за схемою, представленою на рис. 12.4, б, повністю відповідає знайденому рішенню; отже, у цьому випадку виникає, циліндричний згин у чистому виді. У стані, зображеному на рис. 12.4, в, моменти , прикладені по бічних крайках, викликають згин у поперечному напрямку. Однак через те, що на закріплених краях вертикальні переміщення відсутні, пластина не може вільно викривлятися в поперечному напрямку, тому напруження  в міру видалення від бічних крайок швидко загасають. У результаті дія моментів  проявляється лише в тім, що бічні краї пластини трохи відгинаються долілиць; у середній же частині пластини дія моментів  практично не позначається. На підставі викладеного можна укласти, що отримане рішення досить добре відбиває характер напруженого і деформованого станів пластини скрізь, за винятком областей, розташованих біля поздовжніх крайок.

Перейдемо до розгляду чистого згину пластин. Згин називається чистим, якщо поперечні сили в пластині відсутні. Чистий згин виникає при дії на вільну, незакріплену пластину моментів  і , рівномірно розподілених по краях пластини (рис. 12.5, а).

Рис. 12.5. Чистий згин пластин

Припустимо спочатку, що на пластину діє тільки один момент  (рис. 12.5, б). Оскільки скривлення пластини в поперечному напрямку нічим не стиснуто, пластину можна розглядати як сукупність окремих поздовжніх смужок, кожна з яких деформується як брус. Отже, у цьому випадку застосовні звичайні формули теорії згину бруса як для напружень

(12.14)

так і для кривизни в поздовжньому напрямку

(12.15)

На відміну від циліндричного згину при чистому вигині пластина викривляється також і в поперечному напрямку. Радіус кривизни поверхні в поперечному напрямку  можна визначити, використовуючи залежність між деформаціями  і  у довільному шарі пластини. Тому що напружений стан одноосьовий, те

Підставивши в цю рівність

прийдемо до наступних залежностей:

 або(12.16)

Аналогічно визначають напруження і кривизну при навантаженні моментом .

При спільній дії моментів  і  напруження і кривизни підсумуються:

(12.17)
(12.18)

Розглянемо деякі окремі випадки.

  1. Сферичний згин. Якщо моменти й однакові по величині, то
(12.19)

Неважко показати, що в цьому випадку кривизна пружної поверхні в будь-якому напрямку має однакові значення; отже, площина пластини, деформуючись, переходить у сферичну поверхню. Згинальний момент у будь-якому перетині, перпендикулярному серединної площини при сферичному згині, має те саме значення. Звідси виходить, що незалежно від форми контуру пластини в плані при навантаженні її країв згинальним моментом постійної інтенсивності серединна площина перетворюється в сферичну поверхню.

  1. Циліндричний вигин. Якщо , то
(12.20)

Пружна поверхня пластини має прямолінійні утворюючі, отже, площина пластини переходить у циліндричну поверхню.

Досліджуємо більш докладно загальний випадок чистого вигину пластини. Виділимо із пластини нескінченно малий елемент у вигляді тригранної призми (рис. 12.6, а). У двох гранях, перпендикулярних осям x і y, діють нормальні напруження  і , обумовлені по рівняннях (12.17). У третій грані, розташованої під кутом  до площини , виникають як нормальні, так і дотичні напруження. Величину цих напружень можна визначити по відомих формулах теорії плоского напруженого стану:

Підставимо в ці формули значення напружень  й  знайдемо

Напруження  й , лінійно залежать від z. Отже, напруження  можна привести до згинального моменту

(12.21)

а напруження  — до крутного моменту

(12.22)

Рис. 12.6. Напружений стан при чистому згині

Моменти  й  показані на рис. 12.6, б. Найбільший крутний момент виникає в площадці під кутом  до головних осей x і y:

Скривлення площини пластини в напрямку осей x і y характеризується радіусами кривизни  й . Ці радіуси називаються головними радіусами кривизни; один радіус має максимальне, а інший — мінімальне значення. Радіус кривизни в напрямку, що становить кут  з віссю x, має проміжне значення

(12.23)

Крутні моменти викликають деформацію крутіння площини пластини. Характер цієї деформації можна бачити на рис. 12.6, в, де зображена частина пластини, виділена під кутом у  до осей x і y. Лінії ab і cd після деформації стають непаралельними.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019