.

Поперечні коливання стрижнів із зосередженими масами (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
186 534
Скачать документ

Потенційна енергія при згині пластинки

Виведемо формулу для визначення потенційної енергії, що накопичується при вигині пластинки. Відповідно до прийнятих гіпотез,  і , тому формула питомої потенційної енергії (1.18) приймає вигляд

Вносячи сюди вирази напруг (5.6) і деформацій (5.5), одержуємо

Додамо й віднімемо з виразу у квадратних дужках величину

Після групування одержуємо

або

Підставимо отриманий вираз питомої потенційної енергії у формулу (1.20). Тому що прогини пластинки є функціями тільки двох змінних x і y, то в потрійному інтегралі можна відокремити інтегрування по z:

Інтегруючи й уводячи циліндричну жорсткість (5.7), одержуємо

(6.10)

Тут подвійний інтеграл береться по всій площі серединної поверхні пластинки.

Для деяких випадків закріплення пластинки вираз потенційної енергії (6.10) можна спростити. Візьмемо інтеграл від останнього доданка у квадратних дужках і перетворимо його в такий спосіб:

(а)

В останньому виразі проведемо інтегрування вроздріб:

(б)

Перший із вхідних сюди інтегралів — контурний, тому що підінтегральна функція є результат інтегрування по y і, отже, у неї входять значення похідних функції прогинів на контурі, паралельному осі x. Інтегрування в цьому контурному інтегралі ведеться уздовж того ж контуру пластинки. Другий інтеграл у формулі (б) перетворимо ще раз:

і проінтегруємо вроздріб. Тоді інтеграл (а) прийме такий вигляд:

(в)

У другому з отриманих контурних інтегралів інтегрування ведеться уздовж контуру пластинки, паралельного осі y.

Якщо пластинка довільного обрису затиснена по контурі, то у всіх точках контуру прогин і кути повороту серединної площини дорівнюють нулю, тобто . Отже, обоє контурних інтеграла у виразі (в) звертаються в нуль, тому що в них входить множником похідна .

Якщо прямокутна пластинка шарнірно обперта по всьому контурі (рис. 6.1), то у всіх точках контуру прогин .

Рис. 6.1. Шарнірно обперта по контурі пластинка

На краях OA і BC, паралельні осі x, скривлення уздовж осі x неможливо, якщо пластинка щільно прилягає до опори. Таким чином, на цих краях у всіх точках , а, виходить, перший контурний інтеграл у формулі (в) звертається в нуль. На краях OB і AC неможливе скривлення уздовж осі y, тобто в цьому напрямку кути повороту й кривизна серединної площини дорівнюють нулю , і другий контурний інтеграл у формулі (в) теж звертається в нуль.

Таким чином, у двох розглянутих випадках інтеграл (в) приводиться до вигляду

Після його підстановки у формулу потенційної енергії (6.10) вираз, що стоїть у квадратних дужках, звертається в нуль і формула спрощується:

(6.11)

Отриманий вираз можна використовувати для визначення потенційної енергії при вигині пластинок будь-якого обрису, затиснених по контурі, а прямокутних пластинок – ще й шарнірно обпертих по контурі.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020