Поперечні коливання призматичних стрижнів
При виводі диференціального рівняння поперечних коливань стрижня розглянемо динамічну рівновагу ділянки , виділеного з довільно закріпленої балки, припустимо за схемою, показаної на рис. 15.34, .
Користуючись принципом д’Аламбера, спроецируємо на вісь сили, що діють на розглянутий елемент (рис. 15.34, ), і дорівняємо їх до нуля:
,
звідки
| , | (15.111) |
де — поперечна сила; — інтенсивність сил інерції маси балки, спрямованих паралельно осі прогинів ;
| . | (15.112) |
Тут — площа поперечного переріза стрижня;
— щільність матеріалу.
Підставляючи вираження (15.112) у рівняння (15.111), знайдемо рівняння поступального руху елемента коливного стрижня у вигляді
| . | (15.113) |
Крім поступального руху, розглянутий елемент робить також обертовий рух у площині .
| а | б |
Рис. 15.34. Поперечні коливання стрижня
Для виводу рівняння руху елемента з урахуванням його обертання виразимо кут між віссю елемента і віссю , що залежить не тільки від повороту поперечного переріза , але й від зсуву , у такий спосіб:
| . | (15.114) |
Відомі залежності між згинальним моментом у поперечному перерізі й кутом повороту цього перетину:
| , | (15.115) |
а також між поперечною силою й кутом зсуву , що у нашім випадку негативний:
| . | (15.116) |
де — коефіцієнт форми перетину. На підставі залежності (15.114) вираження для , відповідно до формули (15.116), можна записати у вигляді
| . | (15.117) |
Момент інерції обертання маси розглянутого елемента
| . | (15.118) |
З огляду на вираз (15.118) і розглядаючи, користуючись принципом Д’аламбера, динамічну рівновагу обертання стрижня, будемо мати
| . | (15.119) |
Поділивши рівняння (15.119) на й з огляду на формули (15.115) і (15.117), запишемо його у вигляді
| . | (15.120) |
Продиференціював останнє рівняння по , одержимо
| . | (15.121) |
Переписавши рівняння (15.113) з урахуванням виразу (15.117) у вигляді
| (15.122) |
і, крім із рівнянь (15.121) і (15.122) кут , легко одержати диференціальне рівняння вільних поперечних коливань стрижня постійного перетину.
Дійсно, визначивши з рівняння (15.122)
,
а також виразивши , і підставивши їх у рівняння (15.121), остаточно одержимо
| . | (15.123) |
Якщо зневажити силами інерції обертання елемента, а також впливом на прогин поперечної сили, як це звичайно й прийнято в інженерній практиці при розгляді поперечних коливань тонких довгих стрижнів, то рівняння (15.123) істотно спроститься і його можна буде записати у вигляді
| , | (15.124) |
або
| , | (15.125) |
де
| (15.126) |
являє собою швидкість поширення хвилі деформації по стрижню.
Найпростішим періодичним рішенням рівняння (15.125) вільних поперечних коливань стрижня є так зване головне коливання, у якому функція прогину коливного стрижня змінюється із часом за гармонійним законом:
| . | (15.127) |
Функція , що встановлює закон розподілу максимальних амплітудних відхилень точок осі стрижня, називається формою головного коливання або власною формою. Власних форм коливань прямого стрижня, як відомо, нескінченна безліч, і кожної з них відповідає певне значення частоти , що називається власною частотою. Ці частоти й відповідні їм власні форми визначають за допомогою рівняння власних форм і крайових умов задачі.
Для одержання рівняння власних форм підставимо вираження (15.127) у рівняння (15.124). Після скорочення на одержимо
| , | (15.128) |
де
| . | (15.129) |
Рівняння (15.128) має чотири незалежні частки рішення:
; ; ; ;
а його загальне рішення може бути записане так:
| . | (15.130) |
Чотири довільні постійні й варто підбирати так, щоб функція задовольняла умовам закріплення кінців стрижня.
У звичайних випадках число крайових умов дорівнює числу довільних постійних – по двох на кожному кінці. Всі вони виражаються рівністю нулю двох з наступних чотирьох величин:
; ; ; ,
пропорційних відповідно прогину, куту повороту (геометричні умови), згинальному моменту і поперечній силі (динамічні умови) при й . Виконуючи ці умови, одержимо чотири однорідних рівняння, з яких знайдемо співвідношення між і частотні рівняння для визначення власних частот коливань розглянутої системи.
Так, наприклад, для стрижня на двох опорах (рис. 15.35, а) умови на кінцях наступні:
при
, ;
при
, .
Запишемо ці умови, виходячи з формули (15.130):
; ;
; ,
звідки
и
.
| а | |
| б |
Рис. 15.35. Власні форми коливань балки
Так як для нетривіального рішення , те
| . | (15.131) |
Вираз (15.131) і буде рівнянням частоти для розглянутого випадку поперечних коливань балки, що вільно опирається своїми кінцями. З рівняння (15.131) виходить, що
,
але так як
,
то власні кругові частоти коливань розглянутої балки
| , | (15.132) |
а частоти коливань у герцах
| . | (15.133) |
Для власних форм коливань балки, відповідно до формули (15.130), одержимо рівняння
| , | (15.134) |
де
Перші три власні форми графічно представлені на рис. 15.35, .
Загальне рішення диференціального рівняння (15.125) стосовно до розглянутої балки на двох опорах має вигляд
.
Коефіцієнти , знаходять із початкових умов, що виражаються співвідношеннями
; ,
які мають місце в момент , де й — деякі задані функції змінної , визначальний початковий розподіл по осі стрижня поперечних відхилень і швидкостей окремих його елементів.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
