.

Поперечні коливання призматичних стрижнів (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
1 742
Скачать документ

Поперечні коливання призматичних стрижнів

При виводі диференціального рівняння поперечних коливань стрижня розглянемо динамічну рівновагу ділянки , виділеного з довільно закріпленої балки, припустимо за схемою, показаної на рис. 15.34, .

Користуючись принципом д’Аламбера, спроецируємо на вісь  сили, що діють на розглянутий елемент (рис. 15.34, ), і дорівняємо їх до нуля:

,

звідки

,(15.111)

де  — поперечна сила;  — інтенсивність сил інерції маси балки, спрямованих паралельно осі прогинів ;

.(15.112)

Тут  — площа поперечного переріза стрижня;

— щільність матеріалу.

Підставляючи вираження (15.112) у рівняння (15.111), знайдемо рівняння поступального руху елемента коливного стрижня у вигляді

.(15.113)

Крім поступального руху, розглянутий елемент робить також обертовий рух у площині .

аб

Рис. 15.34. Поперечні коливання стрижня

Для виводу рівняння руху елемента з урахуванням його обертання виразимо кут між віссю елемента і віссю , що залежить не тільки від повороту поперечного переріза , але й від зсуву , у такий спосіб:

.(15.114)

Відомі залежності між згинальним моментом  у поперечному перерізі й кутом повороту  цього перетину:

,(15.115)

а також між поперечною силою  й кутом зсуву , що у нашім випадку негативний:

.(15.116)

де  — коефіцієнт форми перетину. На підставі залежності (15.114) вираження для , відповідно до формули (15.116), можна записати у вигляді

.(15.117)

Момент інерції обертання маси  розглянутого елемента

.(15.118)

З огляду на вираз (15.118) і розглядаючи, користуючись принципом Д’аламбера, динамічну рівновагу обертання стрижня, будемо мати

.(15.119)

Поділивши рівняння (15.119) на  й з огляду на формули (15.115) і (15.117), запишемо його у вигляді

.(15.120)

Продиференціював останнє рівняння по , одержимо

.(15.121)

Переписавши рівняння (15.113) з урахуванням виразу  (15.117) у вигляді

(15.122)

і, крім із рівнянь (15.121) і (15.122) кут , легко одержати диференціальне рівняння вільних поперечних коливань стрижня постійного перетину.

Дійсно, визначивши з рівняння (15.122)

,

а також виразивши ,  і підставивши їх у рівняння (15.121), остаточно одержимо

.(15.123)

Якщо зневажити силами інерції обертання елемента, а також впливом на прогин поперечної сили, як це звичайно й прийнято в інженерній практиці при розгляді поперечних коливань тонких довгих стрижнів, то рівняння (15.123) істотно спроститься і його можна буде записати у вигляді

,(15.124)

або

,(15.125)

де

(15.126)

являє собою швидкість поширення хвилі деформації по стрижню.

Найпростішим періодичним рішенням рівняння (15.125) вільних поперечних коливань стрижня є так зване головне коливання, у якому функція прогину коливного стрижня змінюється із часом за гармонійним законом:

.(15.127)

Функція , що встановлює закон розподілу максимальних амплітудних відхилень точок осі стрижня, називається формою головного коливання або власною формою. Власних форм коливань прямого стрижня, як відомо, нескінченна безліч, і кожної з них відповідає певне значення частоти , що називається власною частотою. Ці частоти й відповідні їм власні форми визначають за допомогою рівняння власних форм і крайових умов задачі.

Для одержання рівняння власних форм підставимо вираження (15.127) у рівняння (15.124). Після скорочення на  одержимо

,(15.128)

де

.(15.129)

Рівняння (15.128) має чотири незалежні частки рішення:

;    ;    ;    ;

а його загальне рішення може бути записане так:

.(15.130)

Чотири довільні постійні  й  варто підбирати так, щоб функція  задовольняла умовам закріплення кінців стрижня.

У звичайних випадках число крайових умов дорівнює числу довільних постійних – по двох на кожному кінці. Всі вони виражаються рівністю нулю двох з наступних чотирьох величин:

;    ;    ;    ,

пропорційних відповідно прогину, куту повороту (геометричні умови), згинальному моменту і поперечній силі (динамічні умови) при  й . Виконуючи ці умови, одержимо чотири однорідних рівняння, з яких знайдемо співвідношення між  і частотні рівняння для визначення власних частот коливань розглянутої системи.

Так, наприклад, для стрижня на двох опорах (рис. 15.35, а) умови на кінцях наступні:

при

,    ;

при

,    .

Запишемо ці умови, виходячи з формули (15.130):

;    ;

;    ,

звідки

и

.

а
б

Рис. 15.35. Власні форми коливань балки

Так як для нетривіального рішення , те

.(15.131)

Вираз (15.131) і буде рівнянням частоти для розглянутого випадку поперечних коливань балки, що вільно опирається своїми кінцями. З рівняння (15.131) виходить, що

,

але так як

,

то власні кругові частоти коливань розглянутої балки

,(15.132)

а частоти коливань у герцах

.(15.133)

Для власних форм коливань балки, відповідно до формули (15.130), одержимо рівняння

,(15.134)

де

Перші три власні форми графічно представлені на рис. 15.35, .

Загальне рішення диференціального рівняння (15.125) стосовно до розглянутої балки на двох опорах має вигляд

.

Коефіцієнти ,  знаходять із початкових умов, що виражаються співвідношеннями

;    ,

які мають місце в момент , де  й  — деякі задані функції змінної , визначальний початковий розподіл по осі стрижня поперечних відхилень і швидкостей окремих його елементів.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019