Поняття про втрату стійкості при напругах, що перевищують межу
пропорційності
Вивід формули Ейлера засновано на застосуванні диференційного рівняння
пружної лінії. Тому скористатися цією формулою можна лише в тому
випадку, якщо справедливо закон Гука, тобто поки критичне напруження
(напруження стискання, що відповідає критичній силі) не перевищує
границі пропорційності:
. (14.29)
Дійсно, якщо прямолінійна форма стрижня залишається стійкої й при
напругах, що перевищують межу пропорційності, то диференціальне рівняння
(14.3), що припускає справедливість закону Гука, уже непридатно.
. Відповідно до виражень (14.29) і (14.20)
— квадрат найменшого з головних радіусів інерції стрижня;
— площа брутто поперечного переріза стрижня;
Увівши безрозмірну величину
, (14.31)
Яку називають гнучкістю стрижня, остаточно одержимо
.
. Графік показує, що в міру зростання гнучкості стрижня критичне
напруження прагне до нуля, і навпаки, у міру наближення гнучкості
стрижня до нуля критичне напруження прагне до нескінченності.
Рис. 14.10. Гіпербола Ейлера
Однак з умови (14.29) застосовності формули Ейлера відповідно до формули
(14.32) маємо
,
і, отже,
, що залежить тільки від властивостей матеріалу, тобто в розглянутому
випадку при
.
гіпербола Ейлера показана штриховою лінією, тому що тут вона дає
значення напружень, більше границі пропорційності, тобто не відповідним
умовам її застосовності.
????????????H?H??????
?H
L
L
\
^
TH
???W??
нижче значень, певних по формулі Ейлера. Таким чином, у цьому випадку
формула Ейлера дає завищені значення критичної сили, тобто завжди
переоцінює дійсну стійкість стрижня. Тому використання формули Ейлера
для стрижнів, що втрачають стійкість за межею пружності, не тільки
принципово неправильно, але й украй небезпечно по своїх наслідках.
Теоретичне рішення задачі про стійкість за границею пропорційності
складно, тому звичайно користуються емпіричними формулами, отриманими в
результаті обробки великої кількості дослідних даних.
Ф. С. Ясинський зібрав і обробив великий дослідний матеріал по
поздовжньому згину стрижнів, у результаті чого склав таблицю критичних
напружень залежно від гнучкості для ряду матеріалів і запропонував
просту емпіричну формулу для обчислення критичних напружень за межею
пропорційності:
для деяких матеріалів дані в табл. 14.1.
Для чавуну користуються параболічною залежністю
.
можна побудувати графік залежності критичних напружень від гнучкості
стрижня.
, обчислена по формулі (14.34) або (14.35), стає рівною граничній
напрузі при стисканні, а саме: для пластичних матеріалів
,
а для крихких матеріалів
, називають стрижнями малої гнучкості. Їх розраховують тільки на
міцність.
Таблиця 14.1
Ст2, Ст3
Ст5
Сталь 40
Кремениста сталь
Дерево (сосна)
Чавун 100
100
90
100
110
80 310
464
321
589
29,3
776 1,14
3,26
1,16
3,82
0,194
12,00
відповідає напрузі, рівній границі текучості.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
