Поняття про розрахунок пластинок
Тонкі пластинки, що мають прогини більші чверті своєї товщини,
називаються гнучкими. Для них гіпотеза про недеформованість серединної
площини виявляється несправедливою, тому що в ній виявляються деформації
розтягання, стиску й зрушення. Крім того, зусилля серединної площини
гнучкої пластинки залежать від її прогинів.
уздовж осей x і y (рис. 5.19).
Рис. 5.19. Переміщення в гнучкій пластинці
Тоді формули (5.4) приймають вигляд
:
Ці формули ускладнюються ще й тим, що деформації точок серединної
площини залежать від прогинів нелінійно:
.
Напруги в гнучкій пластинці приводяться не тільки до згинаючих і крутних
моментів і поперечних сил (5.8), (5.9), (5.10), але й до нормальним і
зрушуючих сил у серединній площині (рис. 5.20):
Рис. 5.20. Нормальні й зрушуючі сили
. Крім цих переміщень, одержуємо рівняння нерозривності деформацій, що
зв’язує зусилля в серединній площині пластинки:
(а)
Складемо рівняння рівноваги нескінченно малого елемента серединної
площини гнучкої пластинки, що перебуває як під дією поперечних сил, так
і під дією сил у її серединній площині (рис. 5.20). Проекція сил на вісь
x дає
знаходимо
(б)
Аналогічно з рівняння проекцій на вісь y одержуємо
, нескінченно малого елемента серединної площини пластинки після
скривлення. У цій площині видно сили
кути нахилу яких щодо осі відповідно рівні
При проектуванні врахуємо, що косинус малого кута дорівнює одиниці, а
синус – самому куту, тобто в даній площині
Z
\
b
d
~
?
†
?
c
¤
¦
?
3/4
ue
th
ph Ue
e
i
Рис. 5.21. Перетин елемента площиною
Спроектуємо нормальні сили в розглянутій площині на вісь z:
Після спрощення й відкидання величин третього порядку малості одержимо
:
(д)
Розташування дотичних сил після деформації гнучкої пластинки показане на
рис. 5.22.
Рис. 5.22. Розташування дотичних сил після деформації
. Спроектуємо ці сили на вісь z:
одержимо
, після відповідного згрупування одержуємо
Вирази, що знаходяться в дужках, відповідно до співвідношень (б) рівні
(в) нулю. Підставляючи потім з (5.9) вирази поперечних сил, знаходимо
у формі
(5.37)
то рівняння (ж) і (а) приймуть вигляд
(5.38)
Тут введений оператор
.
Система нелінійних рівнянь (5.38), що зв’язує функцію напруг у
серединній площині пластинки й функцію прогинів, введена німецьким
ученим Т. Карманом. Разом із граничними умовами вона представляє основну
систему нелінійних диференціальних рівнянь теорії гнучких пластинок.
Розв’язок цієї системи в загальному вигляді не отримано. У цей час за
допомогою теорії пластинок отриманий ряд частинних розв’язків для
рівномірно розподіленого поперечного навантаження, а також для
пластинок, що втрачають стійкість при стиску й зрушенні в їхній
серединній площині.
. Тоді рівняння (5.38) зводиться до рівняння (5.16).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
