Поняття про нові теорії міцності. Складний опір
, які є інваріантами напруженого стану.
Для тривимірного простору, направивши осі координат по головних
напрямках, зазначені умови можна представити у вигляді деяких граничних
поверхонь
(10.22)
Так, гранична поверхня, що відповідає умові появи масових пластичних
деформацій по теорії питомої потенційної енергії формозміни [див.
(10.18)], має вигляд
. Для плоского напруженого стану, коли одне з головних напружень
дорівнює нулю, умова (10.23) дає еліптичну граничну криву (рис. 10.6,
б).
а б
Рис. 10.6. Гранична поверхня й гранична крива
.
Помітимо, що всі точки, розташовані усередині області, обмеженою
граничною поверхнею, відповідають напруженим станам з коефіцієнтом
запасу, більшим одиниці. Напружені стани, представлені точками, що
лежать поза цією областю, мають коефіцієнт запасу, менший одиниці.
Недоліки розглянутих теорій, а також поява нових матеріалів, з’явилися
стимулом для розробки нових теорій міцності. Більшість із них засновано
на виборі такої форми граничної поверхні, при якій можна найбільш повно
врахувати особливості опору даного класу матеріалів в умовах складного
напруженого стану.
Розглянемо деякі нові теорії.
Теорія Ягна. Ю.И.Ягн запропонував граничну поверхню (10.22) прийняти у
вигляді полінома другого ступеня, симетричного відповідно всім трьом
головним напруженням:
(10.24)
де постійні a, b і с для даного ізотропного матеріалу повинні
визначатися з опитів на одноосьове розтягання й стиск і на чистий зсув.
відповідно при розтяганні, стисканні й зсуві, знаходимо вираз для
постійних:
З наведеного ясно, що теорія Ю.И.Ягна дозволяє врахувати неоднаковий
опір матеріалу розтяганню й стиску, а також опір матеріалу зсуву. При
певних співвідношеннях між введеними постійними а, b і с із виразу
(10.24) можна одержати ряд енергетичних критеріїв, у тому числі й
критерій питомої потенційної енергії формозміни.
Теорія Писаренко й Лебедєва. Г.С.Писаренко й А.А.Лебедєв, вважаючи, що
настання граничного стану обумовлено здатністю матеріалу чинити опір як
дотичним, так і нормальним напруженням, запропонували шукати критерії
міцності у вигляді інваріантних стосовно напруженого стану функцій
дотичних напружень і максимального нормального напруження.
Запропоновано, наприклад, критерій у наступній лінійній формі
при одноосьовому розтяганні й стисканні. Тоді умова (10.25) прийме вид
(10.26)
де
(переважна більшість реальних матеріалів) гранична поверхня (10.26)
являє собою дорівнює нахилену до головних осей фігуру, у яку вписана
шестигранна піраміда, що відповідає спрощеної теорії міцності Мору
(10.21).
Експериментальна перевірка розглянутої теорії показала, що критерій
(10.26) добре погодиться з результатами випробувань широкого класу
конструкційних матеріалів.
Діаграми механічного стану (критерій Я. Б. Фридмана). Вплив типу
напруженого стану на характер порушення міцності матеріалів приблизно
можна врахувати за допомогою діаграм механічного стану. Останні будують
на підставі наступних положень.
, що представляє собою величину дотичних напружень у другому випадку.
не залежать від типу напруженого стану.
також не залежить від напруженого стану.
4. Порушення міцності шляхом відриву описується теорією найбільших
відносних подовжень так:
(10.27)
а порушення міцності другого виду – теорією найбільших дотичних
напружень у такий спосіб:
. Відхилення лінії опору відриву вправо вище границі текучості (рис.
10.7) відповідає зростанню опору відриву з появою залишкових деформацій.
Рис. 10.7. Діаграма механічного стану
- .02:
<
Для характеристики типу напруженого стану вводять коефіцієнт «м’якості»,
що представляє собою відношення найбільшого дотичного напруження в точці
до найбільшого еквівалентного напруження, що розтягує:
.
Розглядаючи лучі, що відповідають різним типам напруженого стану
матеріалу, можемо приблизно встановити вид руйнування й вибрати теорію
міцності, що підходить. Наприклад, промінь 1 на діаграмі перетинає
раніше всього лінію опору відриву. Отже, матеріал зруйнується шляхом
відриву без попередньої пластичної деформації. Промінь 2 перетинає
спочатку лінію плинності, а потім лінію опору відриву. Отже, при даному
напруженому стані дозвіл відбудеться шляхом відриву, але з попередньою
пластичною деформацією. Для напруженого стану, що відповідає лучу 3,
після пластичної деформації руйнування відбудеться шляхом зрізу. У тих
випадках, коли промені, що зображують той або інший складний напружений
стан, перетинають, насамперед, лінію опору відриву, розрахунок міцності
варто робити по теорії Мору, другій або першій теоріям міцності. Якщо ж
спочатку промені перетинають лінію границі текучості, то розрахунок
міцності слід проводити по третій або четвертій теоріях міцності.
Таким чином, діаграми механічного стану з відомим наближенням відбивають
залежність форми руйнування від виду напруженого стану. Наближеність
побудови полягає в тім, що границя текучості і опір руйнуванню
непостійні. Промені, що зображують напружені стани, прямі лише до
досягнення границі текучості.
розтягання . Перевірити міцність стінки.
Рис. 10.8. Наприклад 10.1
Рішення.
Тому що матеріал перебуває в пластичному стані, то для розрахунку
міцності варто застосувати четверту або третю теорію.
має вигляд
, знаходимо, що
По третій теорії міцності умова міцності наступна:
або
Як видно з розрахунку, міцність стінки забезпечена.
.
Рис. 10.9. Наприклад 10.2
Рішення.
Визначаємо головні напруження:
Тому що матеріал по-різному пручається розтяганню й стиску, то перевірку
міцності проведемо по теорії Мору. Заданий напружений стан
розташовується на граничній діаграмі (рис. 10.5) між простим розтяганням
і простим стиском. Отже, для розрахунку міцності можна застосувати
формулу (10.21):
Маємо
маємо
рівняння приймає вид
Приклад 10.3. По гранях елемента (рис. 10.10), виділеного в небезпечній
точці стержня, що випробовує деформацію згинання, напруження
Визначити еквівалентні (розрахункові) напруження по чотирьох теоріях
міцності.
Рис. 10.10. Наприклад 10.3
Рішення.
Обчислюємо головні напруження в небезпечній точці:
Тоді еквівалентні напруження і умови міцності приймуть наступний вид:
а) по першій теорії
(10.31)
б) по другій теорії
, знаходимо, що
(10.33)
в) по третій теорії
(10.34)
г) по четвертій теорії
(10.35)
Складний опір
Під складним опором мають на увазі різні комбінації раніше розглянутих
простих напружених станів брусів (розтягання, стискання, зсув, крутіння
й згинання).
, пов’язаних із чотирма простими деформаціями стрижня — розтяганням
(стисканням), зсувом, крутінням і згинанням.
Рис. 10.11. Загальний випадок навантаження бруса
Чого-небудь принципово нового задачі складного опору при досить жорстких
брусах не вносять, тому що спільна дія зазначених зусиль приводить до
напруженого стану, яку можна одержати підсумовуванням напружених станів,
викликаних кожним видом простого навантаження окремо. Уміючи визначати
нормальні і дотичні напруження в різних точках стрижня, а також головні
напруження, можна по тій або іншій теорії міцності і перевірити міцність
даного стержня. Аналогічно можуть бути вивчені деформація або
переміщення бруса шляхом відповідного додавання переміщень, одержуваних
при окремих більш простих навантаженнях.
Принцип підсумовування дії сил застосуємо у всіх випадках, коли
деформації малі і підкоряються закону Гука.
На практиці одночасна дія всіх силових факторів зустрічається рідко.
Частіше доводиться мати справу з різними їх комбінаціями, які й
розглянемо нижче.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
