.

Поняття про крайовий ефект. Крайовий ефект у сферичній і циліндричній оболонках (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 1848
Скачать документ

Поняття про крайовий ефект. Крайовий ефект у сферичній і циліндричній
оболонках

Рішення системи рівнянь попереднього параграфа дозволяє визначити
зусилля і напруги в симетрично навантаженій оболонці обертання по
моментній теорії. Порівняння напружень, одержуваних по моментній і
безмоментній теоріях, приводить до виводу, що в тонких оболонках вони
мало відрізняються. Таким чином, можна вважати, що безмоментна теорія
дає задовільні результати, якщо граничні умови є безмоментними, тобто
забезпечують краям  оболонки вільні переміщення в напрямку нормалі до
поверхні.

Розглянемо тепер напружений стан оболонки обертання, край якої
закріплений від зсуву в напрямку нормалі до поверхні. У закріпленні
виникають реакції, які викликають напружений стан, пов’язане із
згинанням і швидко загасаюче при видаленні від краю. Такий напружений
стан, як ми вже відзначали, носе назву крайового ефекту.

Область загасання крайових ефектів виявляється дуже вузькою: для досить
тонких оболонок вона обчислюється частками R. Крайовий ефект – зовсім
особливе явище, характерне лише для тонких оболонок. Він не пов’язаний
із принципом Сен-Венана, а обумовлений тільки малою товщиною оболонки і
скривленням її серединної поверхні.

Складемо основні рівняння, що описують розглянутий напружений стан. У
задачі про крайовий ефект поверхневе навантаження відсутнє й рівняння
рівноваги (7.28) є однорідними:

зручно використовувати для спрощення рішення, тому що через нього
можуть бути виражені зміни кривизни:

звернемося до рис. 7.21, де показаний елемент меридіана оболонки до і
після деформування.

Рис. 7.21. Елемент меридіана оболонки до і після деформування

Із креслення виходить, що до деформування

і співвідношення (а) приймає вид

або

одержуємо

звідки

.

Інтегрування цієї системи рівнянь представляє значні труднощі. Точне
рішення задачі показує, що в краю виникає напружений стан, що має форму
швидко загасаючого коливання при видаленні від цього краю. Це дозволяє
побудувати наближену теорію розрахунку крайового ефекту. Аналіз функцій,
що характеризують загасання коливання з більшим коефіцієнтом загасання,
показує, що значення похідної такої функції завжди більше значення самої
функції на величину коефіцієнта загасання. Тому при підсумовуванні
зусиль, деформацій і переміщень в оболонці з їх похідними можна брати до
уваги лише похідні вищого порядку.

; зазначений вираз може бути представлене в спрощеній формі:

, одержимо

або

Після інтегрування знаходимо

????????H?H??????

пропорційна рівнодіючій поверхневих сил. Так як задача про крайовий
ефект є однорідною, то ця рівнодіюча дорівнює нулю, а значить, і
постійна теж дорівнює нулю. Таким чином,

(в)

Підставивши цей вираз в друге рівняння рівноваги, одержуємо

звідки після зазначених спрощень

З перших двох формул (7.31) маємо

Після підстановки зусиль (в) і (г) одержуємо

або після спрощення

(д)

Із третього рівняння рівноваги (7.32) після диференціювання і спрощення
знаходимо

(е)

Третя формула (7.31) після підстановки в неї значень  кривизни  (7.33)
приймає вид

або після спрощення

(ж)

Підставивши вираз (ж) в (е), після спрощення одержимо

(з)

Підставивши вираз (з) в (д), знайдемо

Вносячи останню рівність у формулу (б), одержимо наближене
диференціальне рівняння крайового ефекту:

(7.35)

де

. Для цього потрібно у вираз (з) підставити послідовно формули (б) і
(д). У результаті після спрощень одержимо

, а рівняння (7.36) приймає вид

Його рішення можна представити в такій формі:

. Тоді рішення (і) буде виглядати так:

Рис. 7.22. Введення нових змінних

:

:

і інші зусилля. Так, для нижнього краю сферичної оболонки

(7.40)

Для верхнього краю

. Загальне рішення задачі виходить підсумовуванням зусиль крайового
ефекту і зусиль, отриманих по безмоментній теорії. Потім із граничних
умов визначаються довільні постійні загального рішення.

Для дослідження крайового ефекту в циліндричній оболонці скористаємося
рівнянням (7.16). Відповідне йому однорідне рівняння

має рішення у вигляді

(к)

Аналогічно поданню функції (7.37) у вигляді двох незалежних рішень
(7.38) і (7.39), рішення (к) також можна розбити на два:

.

Після цього по формулах (7.13) визначаються зусилля крайового ефекту:
для лівого краю

для правого

загасає та частина зусилля, що викликається крайовим ефектом; (на
малюнку їй відповідає епюра, зображена суцільною лінією).

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019