Подовжні коливання стрижнів
Розглянемо випадок, коли стрижень випробує дію однієї зосередженої сили,
що змінюється за гармонійним законом
(287)
Стаціонарні змушені коливання відбуваються з частотою обурення і, отже,
описуються законом
(288)
– підлягаюча визначенню функція абсциси (форма змушених коливань). Для
елемента стрижня (див. мал.67,б) було отримане рівняння
(289)
де
(290)
:
(291)
визначається формулою (290).
заздалегідь відома. Подібно виразу (181) рішення (291) запишемо у виді
(292)
визначаються з граничних умов; розглянемо деякі з них.
.
Вона повинна дорівнювати подовжній силі в кінцевому перерізі. Відповідно
до (173)
(293)
Прирівнюючи вирази (287) і (293), одержимо граничну умову у виді
(294)
Кінець стрижня вільний від навантаження.
.
.
Сила інерції, що розвивається нею
.
Ця сила інерції повинна дорівнювати подовжній силі
отже, гранична умова має вид
Якщо стрижень має перемінний переріз, що змінюється східчасто, то
рішення (292) повинно бути записане окремо для кожної з ділянок:
. . . . . .
– номер відповідної ділянки.
умов сполучення, що виражають рівність переміщень і подовжніх сил на
межі двох ділянок:
Аналогічно варто надходити й у тих випадках, коли обурююча сила
прикладена в ряді проміжних перерізів.
Розглянемо випадок, коли зовнішнє навантаження неперервно розподілене
вздовж стрижня:
(295)
одержимо
:
У загальному випадку рішення має вид
^
`
f
h
dfh6
8
< >
@
jG
`
f8
>
! (296)
Якщо переріз стрижня змінюється неперервно, то вихідне диференціальне
рівняння записується у виді
При цьому передбачається відсутність розподіленого зовнішнього
навантаження.
Після підстановки виразу (288) рівняння приймає форму
(297)
Це рівняння має перемінні коефіцієнти й у загальному випадку не може
бути вирішене в замкнутому виді, тому доводиться використовувати
наближені методи.
Тепер розглянемо розкладання рішення в ряд по власних функціях. У
загальному випадку зовнішнє навантаження довільним способом розподілене
вздовж і є якою завгодно функцією часу
Зокрема, навантаження може змінюватися в часі за законом, загальним для
всіх точок:
(298)
(299)
представляються у вигляді рядів по власних функціях відповідної задачі
про вільні коливання:
(300)
утвориться формула
(301)
Якщо навантаження змінюється за законом (298), то
(302)
для всіх номерів і відрізняються тільки масштабом.
то формула (301) приймає вид
(303)
Визначення функцій Ті(t) основане на тому, що кожний доданок у правій
частині верхнього ряду (300) викликає рух, обумовлений відповідним
доданком нижнього ряду (300). Тому в рівняння (299) можна підставити
(304)
Тоді одержимо рівняння
, тоді
Рішення цього рівняння має вид
Ця формула і дозволяє вирішити задачу, тому що дає можливість утворити
другу із сум (300). Якщо навантаження діє за законом (298), то при
урахуванні (302) можна написати
по виразу (296).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter