.

Подовжні коливання стрижнів (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 704
Скачать документ

Подовжні коливання стрижнів

Основна особливість процесу вільних коливань систем із безкінечним
числом ступенів свободи виражається в нескінченності числа власних
частот і форм коливань. З цим зв’язані й особливості математичного
характеру: замість звичайних диференціальних рівнянь, що описують
коливання систем із кінцевим числом ступенів свободи, тут доводиться
мати справу з диференціальними рівняннями в приватних похідних. Крім
початкових умов, що визначають початкові зсуви і швидкості, необхідно
враховувати і граничні умови, що характеризують закріплення системи.

При аналізі подовжніх коливань прямолінійного стрижня (мал.67,а) будемо
вважати, що поперечні перетини залишаються плоскими, і що частки стрижня
не роблять поперечних рухів, а переміщаються тільки в подовжньому
напрямку.

Мал. 67

.

Відповідно подовжня сила в перетині з координатою х може бути записана у
виді

,

(173)

жорсткість стрижня при розтягу (стиску). Сила N також є функцією двох
аргументів – координати х і часу t.

. Тому рівняння руху в проекції на вісь х має вид

,

або

.

(174)

З огляду на вираження (173) і приймаючи A = const , одержимо

,

(175)

де

.

(176)

Слідуючи методу Фур’є, шукаємо приватне рішення диференціального
рівняння (175) у виді

,

(177)

тобто припустимо, що переміщення u можна представити у виді добутку двох
функцій, одна з яких залежить тільки від аргументу х, а інша тільки від
аргументу t. Тоді замість визначення функції двох перемінних u (x, t)
необхідно визначати дві функції X(x) і T(t), кожна з який залежить
тільки від однієї перемінної.

Підставивши (177) у рівняння (174), одержимо

,

де штрихами позначена операція диференціювання по x, а точками – по t.
Перепишемо це рівняння у виді

.

:

.

(178)

Звідси випливають два рівняння:

.

(179)

Перше рівняння має рішення

,

(180)

має сенс частоти вільних коливань.

Друге з рівнянь (179) має рішення

??????
(181)

що визначає форму коливань.

відповідає своя функція Tn(t), обумовлена залежністю (180), і своя
функція Xn(x), обумовлена залежністю (181). Рішення (177) є лише
приватним і не дає повного опису руху. Повне рішення утворюється шляхом
накладення всіх приватних рішень:

.

Функції Xn(x) називаються власними функціями задачі й описують власні
форми коливань. Вони не залежать від початкових умов і задовольняють
умові ортогональності, що при А=const має вид

.

Розглянемо деякі варіанти граничних умов.

Закріплений кінець стрижня (мал.68,а). У кінцевому перетині переміщення
u повинно бути рівним нулю; звідси випливає, що в цьому перетині

X=0

(182)

Вільний кінець стрижня (мал.68,б). У кінцевому перетині подовжня сила

(183)

повинна тотожно рівнятися нулю, що можливо, якщо в кінцевому перетині
X’=0.

Пружно – закріплений кінець стрижня (мал.68,в).

, де С0 – жорсткість опори. З огляду на вираз (183) для подовжньої сили,
одержимо граничну умову виду

,

якщо опора розташована на лівому кінці стрижня (мал.68,в), і виду

,

якщо опора розташована на правому кінці стрижня (мал.68,г).

Мал. 68

на кінці стрижня.

Сила інерції, що розвивається масою

.

. Одержуємо граничну умову у виді

,

якщо маса знаходиться на лівому кінці (мал.68,д), і

,

(184)

якщо маса зв’язана з правим кінцем (мал.68,е).

Визначимо власні частоти консольного стрижня (мал.68,a’).

Відповідно до(182) і (183), граничні умови будуть

X=0 при х=0;

.

Підставляючи по черзі ці умови в рішення (181), одержимо

.

0 приводить до частотного рівняння

.

Корені цього рівняння

(n=1,2,…)

визначають власні частоти

(n=1,2,…)…

(185)

Перша (нижча) частота при n=1

.

Друга частота (при n=2)

і т.д.

на кінці (мал.68,е).

Відповідно до (182) і (184) маємо

X=0 при х=0;

.

Підставляючи ці умови в рішення (181), одержимо

.

Отже, частотне рівняння при обліку вираження (176) має вид

.

Тут права частина являє собою відношення маси стрижня до маси кінцевого
вантажу.

Для рішення отриманого трансцендентного рівняння необхідно скористатися
якимсь наближеним способом.

будуть відповідно 0.32 і 0.65.

вирішальний вплив робить вантаж і гарні результати дає наближене рішення

.

const, із рівнянь (173) і (174) утворюється рівняння руху у виді

.

Це диференціальне рівняння не піддається рішенню в замкнутому виді. Тому
в подібних випадках доводиться удаватися до наближених методів
визначення власних частот.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019