Побудова епюр у плоско-просторових системах
Побудова епюр у плоско-просторових системах
Систему, що складається із прямолінійних стрижнів, жорстко з’єднаних між собою, розташованих в одній площині й навантажених перпендикулярно до цієї площини, будемо називати плоско-просторовою.
Будемо розглядати тільки жорстко защімлені плоско-просторові системи (далі скорочено: ППС). При цьому можливі два основних варіанти:
- Система розташовується горизонтально, навантаження прикладені у вертикальних площинах (рис.15,а.,б).
- Система розташовується у вертикальній площині, навантаження прикладені горизонтально (рис.15,в,г).
У першому випадку (рис.15,а,б) у поперечних перерізах стрижнів системи можуть виникати поперечна сила Qy, згинальний момент Mx і крутний момент Mкр; у другому випадку – Qx, My, Mкр. Очевидно, що поворотом на 90 градусів системи другого виду (рис.15,в,г) приводяться до систем першого виду, при цьому Qx переходить в Qy, My – в Mx, тому надалі обмежимося розглядом систем першого виду.
Відомо, що при одночасній наявності в перерізах стрижневої системи, що згинається, внутрішніх моментів і внутрішніх сил вплив останніх на напружено-деформований стан системи незначно (виключення становлять “короткі” стрижні), тому виключимо з розгляду поперечну силу Qy.
Отже, зупинимося на правилах побудови епюр Mx і Mкр для плоско-просторових систем.
Рис.15
Приклад 11. Розглянемо ППС (рис.16,а). Перш ніж будувати для цієї системи епюри Mx і Mкр, побудуємо епюри Mx і Mкр для кожного із чотирьох можливих навантажень (вони представлені на схемі), тому що загалом кажучи, будь-які епюри Mx і Mкр у силу принципу незалежності дії сил будуть являти собою алгебраїчну суму цих найпростіших епюр, побудованих від кожного навантаження окремо, але, зрозуміло, з урахуванням місця додатка навантажень, їхніх напрямків і геометричної конфігурації системи.
Для досягнення максимальної спільності будемо вважати, що сила F, момент типу M1 і момент типу M2( мається на увазі площина дії кожного з них) прикладені до кінцевого перерізу (т.А на рис.16,а), а розподілене навантаження прикладене до першого від вільного кінця ділянці стрижня (стрижень АВ на рис.16,а). Причому, всі побудови будемо виконувати в загальному виді, думаючи, для наочності, що a < l.
Нехай до плоско-просторової системи (рис.16,в) прикладена тільки сила F. Побудуємо епюри Mx,F і Mкр,F для заданої системи. Тут, як і при будь-якому іншому зовнішньому навантаженні, більше складним є побудова епюри згинальних моментів Mx. Відповідно до раніше застережених принципів, для побудови епюри Mx у заданої ППС виділимо 6 характерних перерізів. Тому що є жорстке закладення, то розрахунок ведемо від вільного кінця. При обчисленні згинального моменту дуже важливо правильно визначити площину вигину стрижня, якому належить розглянутий характерний переріз, тому що плече діючого навантаження необхідно визначити саме в площині вигину.
Рис.16
Стрижень АВ згинається у вертикальній площині, перпендикулярній площині креслення;
Mx,1 = 0,
Mx,2 = F·l.
Стрижень ВР згинається у вертикальній площині, паралельній площині креслення:
Mx,3 = 0, (сила F не має плеча в площині вигину!);
Mx,4 = F·a.
Стрижень СД, як і стрижень АВ, згинається у вертикальній площині, перпендикулярній площині креслення.
Mx,5 = F·l.
Mx,6 = 0 (сила F не має плеча в площині вигину).
Зупинимося докладніше на визначенні згинального моменту Mx,5. Як видно з наведених вище значень: Mx,5 = – Mx,2, тобто моменти в перерізах 2 і 5 (зверніть увагу на їхнє розташування, а не на нумерацію, що, природно, може бути зовсім довільною) однакові за величиною, але протилежні по напрямку. Це твердження можна довести.
Причому, можливий як строгий доказ, так і деякі “нестрогі” міркування, що приводять до того ж факту. Почнемо з останніх. Під дією прикладеної сили F (рис.16,в) відбувається “перекіс” системи: крапка В зміщається нагору, а крапка С – долілиць; при цьому обидві крапки розташовуються на однаковій відстані (у вертикальній площині, перпендикулярній площині креслення) від лінії дії сили F, отже, моменти в перерізах 2 і 5 однакові, але протилежні за знаком.
Для ілюстрації іншого підходу до “нестрогого” доказу твердження про те, що Mx,5 = – Mx,2, уведемо в розгляд так звану ковзну систему координат (рис.16,в). Така назва пов’язана з тим, що координатні осі як би сковзають уздовж ламаний поздовжньої осі системи, не повертаючись навколо її. При цьому на кожній ділянці плоско-просторової системи вісь z спрямована уздовж поздовжньої осі відповідного стрижня, вісь y-y- нагору (або долілиць) при розташуванні системи в горизонтальній площині, а вісь x залишається перпендикулярної до площини yoz. Як треба із креслення, на ділянках АВ і СД вісь x має протилежний напрямок, отже, моменти Mx мають на цих ділянках різні знаки, а тому що перерізи 2 і 5 рівно відстоять від лінії дії сили F, то очевидна рівність моментів у цих перерізах за абсолютною величиною.
І, нарешті, розглянемо більше строгий доказ. Рухаючись від вільного кінця при виборі відсіченої частини, ми одержали: Mx,2 = F·l . Визначимо момент Mx у перерізі 5, рухаючись при виборі відсіченої частини з боку закладення. Для визначення моменту в такий спосіб необхідно знати реакції закладення. При дії на систему сили F із всіх можливих у загальному випадку навантаження реакцій у закладенні виникають реакція RD і опорний момент MD, обумовлені з умов рівноваги:
Тепер, рухаючись із боку закладення для перерізу 5, одержимо:
Mx,5 = RD · l = F · l, тобто Mx,5 = – Mx,2 (момент MD не впливає на величину Mx,5, тому що його площина дії перпендикулярна площини вигину).
Очевидно, що подібні міркування можна провести при будь-якім зовнішнім навантаженні, тому надалі при побудові епюри Mx завжди будемо керуватися правилом: згинальний момент у перерізі 5 дорівнює згинальному моменту в перерізі 2 (знов-таки, мається на увазі положення перерізів, а не їхні порядкові номери) і протилежний йому за знаком, за умови, що на ділянці 2-5 не прикладений зосереджений момент, що для перерізу 5 є згинаючої, тобто момент типу M1(рис.16,а). При наявності на ділянці 2-5 такі моменти рівність ординат за модулем в перерізах 2 і 5 “спотворюється” на величину M1 у відповідному напрямку M1 сторону.
Тепер побудуємо епюру Mкр,F.
Ділянка АВ не піддана крутінню, тому що сила F прикладена до поздовжньої осі стрижня АВ. Ділянка ВР закручується силою F із плечем l, отже:
Mкр,3 = Mкр,4 = F·l .
Ділянка СД також закручується силою F, але із плечем a, тобто:
Mкр,5 = Mкр,6 = F·a.
Епюри Mx,F і Mкр,F представлені на рис.16,м.
Аналогічним образом будуються епюри згинаючих і крутних моментів від розподіленого навантаження q (рис.16,д), зосередженого моменту типу M1(рис.16,ж) і зосередженого моменту типу M2(рис.16,і).
Не зупиняючись детально на побудові цих епюр, відзначимо деякі особливості. Епюра Mx на ділянці під розподіленим навантаженням (і тільки на цій ділянці!)- квадратна парабола, спрямована опуклістю назустріч навантаженню. На ділянці СД – протилежному тому, де прикладене навантаження q – епюра Mx перерізає вісь у крапці, розташованої напроти рівнодіючого розподіленого навантаження (рис.16,д).
Аналіз епюр від зосереджених моментів M1(рис.16,з) і M2 (рис.16,к) дозволяє зробити очевидний висновок про те, що якщо момент приводить до вигину якого-небудь стрижня, то крутіння на цій ділянці відсутнє і навпаки.
Тепер, з огляду на накопичений досвід при побудові епюр від роздільної дії кожного із чотирьох навантажень, розглянемо більше складне навантаження (рис.16,а).
При зазначених на цьому малюнку навантаженнях для побудови епюри Mx необхідно виділити 8 характерних перерізів. Рухаючись від вільного кінця, одержимо по ділянках:
Ділянка АВ згинається у вертикальній площині, перпендикулярній площині креслення:
(стислі нижні волокна).
Крутіння на ділянці АВ відсутній, тому що сила F і навантаження q мають нульові плечі щодо поздовжньої осі ділянки АВ.
Ділянка ВС згинається у вертикальній площині, паралельній площині креслення.
(стислі верхні волокна);
(стислі нижні волокна);
, тому що момент , прикладений до відсіченої частини для перерізу 5, діє в площині, перпендикулярної ВС і на вигин ділянки ВС не впливає;
(стислі нижні волокна).
Для побудови епюри крутних моментів на ділянці ВС розглянемо окремо ділянки 3-4 і 5-6, тому що між перерізами 4 і 5 прикладений момент M1. Ділянка 3-4 закручується силою F із плечем 3м и в протилежну сторону – навантаженням q із плечем 1,5м:
(тут знак “-” носить сугубо умовний характер і може служити тільки для позначення напрямку крутіння). Ділянка 5-6 крім сили F і навантаження q закручується ще й моментом M1, причому, у тім же напрямку, що й навантаженням q, тому:
Ділянка 7-8 закручується навантаженням q із плечем 2м и в протилежну сторону – силою F із плечем 2м і моментом M2, отже:
За обчисленим значенням будуємо епюри Mx і Mкр(рис.16,б).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
