.

Плоска задача теорії пружності в полярних координатах. Основні рівняння (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
2 1046
Скачать документ

Плоска задача теорії пружності в полярних координатах. Основні рівняння

При рішенні плоскої задачі зустрічаються тіла, обмежені поверхнями
кругового циліндра і радіально розбіжними площинами. У цих випадках
перехід від декартовой системи  координат до полярної значно  спpощує
рішення.

. Розглянемо основні рівняння плоскої задачі  в полярних координатах:
диференціальні рівняння рівноваги, рівняння нерозривності деформацій,
формули Коші і формули узагальненого закону Гука.

. Сторони отриманого елемента мають наступні розміри:

.

Рис. 4.1. Елемент пластинки в полярних координатах

— складові об’ємної сили.

:

можна прийняти

.

, одержуємо диференціальні рівняння рівноваги для плоскої задачі в
полярній системі координат:

необмежено убуває. Тому рівняння (4.1) неприйнятні для точок, що лежать
поблизу полюса.

Перетворимо до полярних координат рівняння нерозривності деформацій. У
декартових координатах воно записувалося у вигляді

, одержимо, що при узагальненому плоскому напруженому стані інваріантною
величиною є

При плоскій деформації напруження

і інваріантною величиною є

????????????H?H??????

ти наступну тотожність:

Заміняючи з його допомогою напруження у формулі (а), одержуємо рівняння
нерозривності деформацій для плоскої задачі в полярній системі
координат:

направимо донизу. У цьому випадку полярні координати пов’язані з
декартовими  наступними залежностями:

, знаходимо

Використовуючи вираз (в), одержуємо

(г)

Аналогічно обчислюємо другі похідні тої ж функції:

й похідні в декартової системі координат (г) і (д) виразяться через
похідні в полярній системі в такий спосіб:

(е)

Тоді оператор Лапласа приймає вид

(ж)

Використовуючи це вираження в рівнянні (б), одержимо розгорнуте рівняння
нерозривності деформацій для плоскої задачі в полярній системі
координат:

.

після деформування.

Рис. 4.2. Елемент пластинки до і після деформування

знаходимо аналогічно тому, як це зроблено в декартовій системі
координат:

. У першому випадку

у другому, за аналогією з формулою (з),

. Сумарне подовження

(и)

Кутова деформація в розглянутій площині

(к)

Таким чином, геометричні співвідношення  Коші в полярній системі
координат утворять систему рівнянь (з), (і), (к):

:

відповідно до формул (3.9).

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019