Плоска задача теорії пружності в полярних координатах. Основні рівняння
При рішенні плоскої задачі зустрічаються тіла, обмежені поверхнями
кругового циліндра і радіально розбіжними площинами. У цих випадках
перехід від декартовой системи координат до полярної значно спpощує
рішення.
. Розглянемо основні рівняння плоскої задачі в полярних координатах:
диференціальні рівняння рівноваги, рівняння нерозривності деформацій,
формули Коші і формули узагальненого закону Гука.
. Сторони отриманого елемента мають наступні розміри:
.
Рис. 4.1. Елемент пластинки в полярних координатах
— складові об’ємної сили.
:
можна прийняти
.
, одержуємо диференціальні рівняння рівноваги для плоскої задачі в
полярній системі координат:
необмежено убуває. Тому рівняння (4.1) неприйнятні для точок, що лежать
поблизу полюса.
Перетворимо до полярних координат рівняння нерозривності деформацій. У
декартових координатах воно записувалося у вигляді
, одержимо, що при узагальненому плоскому напруженому стані інваріантною
величиною є
При плоскій деформації напруження
і інваріантною величиною є
????????????H?H??????
”
ти наступну тотожність:
Заміняючи з його допомогою напруження у формулі (а), одержуємо рівняння
нерозривності деформацій для плоскої задачі в полярній системі
координат:
направимо донизу. У цьому випадку полярні координати пов’язані з
декартовими наступними залежностями:
, знаходимо
Використовуючи вираз (в), одержуємо
(г)
Аналогічно обчислюємо другі похідні тої ж функції:
й похідні в декартової системі координат (г) і (д) виразяться через
похідні в полярній системі в такий спосіб:
(е)
Тоді оператор Лапласа приймає вид
(ж)
Використовуючи це вираження в рівнянні (б), одержимо розгорнуте рівняння
нерозривності деформацій для плоскої задачі в полярній системі
координат:
.
після деформування.
Рис. 4.2. Елемент пластинки до і після деформування
знаходимо аналогічно тому, як це зроблено в декартовій системі
координат:
. У першому випадку
у другому, за аналогією з формулою (з),
. Сумарне подовження
(и)
Кутова деформація в розглянутій площині
(к)
Таким чином, геометричні співвідношення Коші в полярній системі
координат утворять систему рівнянь (з), (і), (к):
:
відповідно до формул (3.9).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter