Кругові циліндричні оболонки
Переміщення й деформації в круговій циліндричній оболонці
Зв’язок між переміщеннями й деформаціями в круговій циліндричній оболонці можна одержати з геометричних співвідношень Коші в циліндричній системі координат x, , r (рис. 7.13).
Рис. 7.13. Циліндрична система координат
Складові переміщення в цій системі мають наступний зміст: u — складова уздовж осі x; — складова в напрямку осі , тобто перпендикулярна в кожній точці площини xOr; — складова в напрямку осі r.
Складові лінійної деформації в циліндричній системі координат x, , r будемо позначати , і , а складові кутової деформації — , , . Рівняння Коші в циліндричній системі координат (без виведення):
| (7.6) |
Для переходу від просторового тіла до оболонки замість циліндричної системи координат x, , r введемо систему координат x, , z, зв’язану із серединною поверхнею оболонки. При цьому координати x і збережуть своє значення, а координата r перетвориться до координати z:
| (а) |
де R — радіус серединної поверхні; тут — величина постійна.
Перехід від однієї системи координат до іншої у виразах похідних зводиться до простої заміни змінної r на z. Таким чином, геометричні співвідношення Коші в системі координат x, , z приймуть вигляд:
| (б) |
З гіпотези прямих нормалей випливає, що
| (7.7) |
Підставляючи в ці умови вирази складових деформації зі співвідношень (б), одержуємо
| (в) |
Третій рядок формул (в) вказує на те, що переміщення по нормалі до серединної поверхні оболонки не залежить від координати z, тобто , і всі точки, що лежать на нормалі, одержують однакові переміщення в напрямку цієї нормалі, рівні переміщенню точки серединної поверхні.
Із двох перших формул (в) одержуємо
| (г) |
Похідні й у точках серединної поверхні оболонки, тобто при , приймають наступні значення:
| (д) |
Тут, як і надалі, індекс 0 ставиться до значень функцій у точках серединної поверхні оболонки.
На підставі гіпотези прямих нормалей складові переміщення u і повинні бути лінійними функціями щодо координати z, тобто їх можна представити в такій формі:
| (е) |
де й — кутові коефіцієнти нормалі до серединної поверхні відповідно в координатних площинах zCx і . Вони є функціями координат x і . Для визначення кутових коефіцієнтів продиференціюємо формули (е) по z і, підставивши , знайдемо значення цих похідних на серединній поверхні:
| (ж) |
Порівнюючи (д) і (ж), одержуємо значення кутових коефіцієнтів:
Підставляючи ці значення у формули (е), знаходимо складові переміщення u і , що є інтегралами рівнянь у частинних похідних (г):
| (з) |
Таким чином, зіставляючі переміщення довільної точки оболонки виражені через складові переміщення точки її серединної поверхні , і . Підставляючи співвідношення (з) у формули (б) і зневажаючи при цьому величиною z через малість у порівнянні з R, знаходимо
| (7.8) |
Одержали геометричні рівняння теорії кругової циліндричної оболонки. Вони встановлюють зв’язок між деформаціями в довільній точці оболонки й переміщеннями відповідної точки серединної поверхні. Ці рівняння зручно представити в такому вигляді:
| (7.9) |
Перші доданки в цих формулах являють собою деформації точок серединної поверхні, а другі пов’язані з вигином і крутінням серединної поверхні, а саме: — кривизна оболонки в напрямку осі x після деформування; — зміна кривизни в напрямку дуги; — відносне крутіння серединної поверхні оболонки.
Із зіставлення формул (7.8) і (7.9) одержуємо
| (7.10) |
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
