РЕФЕРАТ
З фізики на тему:
Параметричний резонанс
t. Внаслідок коливань точки підвісу система координат, початок якої
збігається з точкою підвісу, неінерціальна. Тому, слід врахувати силу
інерції, яка в розглядуваному випадку дорівнює
t.
Потенціал цієї сили виражається формулою
,
де 8 — кут відхилення маятника від вертикалі, вибраний за узагальнену
координату. Функція Лагранжа в цьому разі має вигляд
,
а рівняння Лагранжа
1) це рівняння зводиться до лінійного рівняння
= g/l.
Таким чином, коливання точки підвісу математичного маятника еквівалентне
зміні з часом його параметрів:
Параметром, що залежить від часу, тут є частота
Ця залежність за певних умов, як буде показано нижче, приводить до
наростання з часом амплітуди коливань, тобто до параметричного резонансу
або параметричної нестійкості.
(t) в рівнянні (40.1) є довільною періодичною функцією часу
(t)
(t — Т) теж має бути його розв’язком. З курсу диференціальних рівнянь
відомо, що рівняння другого порядку завжди має два лінійно незалежні
розв’язки Ql (t) і 92 (t), а будь-який інший розв’язок можна подати у
вигляді лінійної комбінації цих двох розв’язків. Зокрема,
2 (t),
2 (t).
2 (t + T) були б лінійно залежними. Справді, якщо припустити, що
визначник
, а
2 (t + T)
і додамо їх:
так, щоб виконувалися різності
, розв’язок якої існує, якщо
Тоді із співвідношення
2, маємо
Отже, завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв’язки
рівняння, щоб зміна їх при заміні t на t + Т зводилась до множення на
сталий множник:
Такі ж співвідношення справедливі для похідних за часом
Формули можна записати тотожно так:
Звідси випливає, що функції
є періодичними з періодом Т. Отже, система лінійно незалежних розв’язків
рівняння має вигляд
,
2,
2 і віднімемо від першого друге. В результаті дістанемо
2l(t), а з іншого — l (t+ T) = = l (t), то
2=1
2 = е-zT де z — комплексна число, яке можна знайти, розв’язавши
рівняння.
(t + T) можна записати-у вигляді (теорема Флоке):
,
Тут П1 (t) і П2 (t) — періодичні функції з періодом Т, внаслідок чого їх
можна розкласти в ряд Фуh’є
= 0 не е стійким. Досить будь-якого малого відхилення від положення
рівноваги, щоб це відхилення потім експоненціальне збільшувалося з
часом. Це явище було названо параметричним резонансом або параметричною
нестійкістю.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
