Осьові, полярний і відцентровий моменти інерції. Головні осі і головні
моменти інерції
Осьові, полярний і відцентровий моменти інерції
Осьовим моментом інерції плоского перетину щодо даної осі називається
взята по всій площі перетину сума добутків площ елементарних площадок на
квадрати їхніх відстаней до цієї осі (рис.2.8).
Рис.2.8. До визначення моментів інерції
являє собою визначений інтеграл
У технічній літературі ці характеристики іноді називають
екваторіальними моментами інерції.
Осьовий момент інерції може бути тільки додатною величиною, тому що
незалежно від знака координати довільної площадки відповідний доданок
додатній, так як в нього входить квадрат цієї координати. Розмірність
осьового моменту інерції — довжина в четвертому ступені (виміряється в
м4, см4, мм4).
(рис.2.8), то величину
(2.5)
називають полярним моментом інерції.
(рис.2.8), тому для будь-якого перетину
. (2.6)
Розмірність цієї величини — м4, см4, мм4.
При визначенні осьових моментів інерції в деяких випадках доводиться
зустрічатися ще з однією геометричною характеристикою — відцентровим
моментом інерції. Це взята по всій площі перетину сума добутків площ
елементарних площадок на добуток їхніх відстаней до двох даних взаємно
перпендикулярних осей, тобто
(2.7)
Відцентровий момент інерції має розмірність довжини в
четвертому ступені. Залежно від розташування осей він може бути як
додатнім, так і від’ємним і в окремих випадках рівним нулю.
Головні осі й головні моменти інерції
Осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, називаються
головними осями (іноді їх називають головними осями інерції). Через
будь-яку точку, узяту в площині перетину, можна провести в загальному
випадку дві головних осі (у деяких окремих випадках їх може бути
незліченна безліч). Для того щоб переконатися в справедливості цього
твердження, розглянемо, як змінюється відцентровий момент інерції при
повороті осей на 90° (рис.2.9).
Рис.2.9. До визначення положення головних осей
який уявляє собою відцентровий момент інерції перетину, при повороті
осей на 90° змінюється на протилежний, тобто
У процесі повороту осей, мабуть, відцентровий момент інерції змінюється
безупинно, і, отже, при деякому положенні осей він стає рівним нулю. Ці
осі і є головними.
’
a
v
ph”Головні осі можна провести через будь-яку точку перетину, але
практичний інтерес представляють тільки ті з них, які проходять через
центр ваги перетину; вони називаються головними центральними осями.
У загальному випадку перетину довільної форми для визначення положення
головних центральних осей необхідно провести спеціальне дослідження.
Зараз обмежимося розглядом досить важливих окремих випадків перетинів,
що мають, щонайменше, одну вісь симетрії (рис.2.10).
Рис.2.10. Головні центральні осі при наявності симетрії
у вигляді двох доданків:
— частини площі перетину, розташовані відповідно праворуч і ліворуч
від осі симетрії.
Очевидно,
тому що для будь-якої елементарної площадки, розташованої праворуч від
осі симетрії, є відповідна їй розташована ліворуч, для якої добуток
координат відрізняється лише знаком.
виявився рівним нулю, тобто це головні осі. Отже, для знаходження
головних осей симетричного перетину досить знайти положення його центра
ваги. Однієї з головних центральних осей є вісь симетрії, друга – їй
перпендикулярна.
Наведений доказ залишається в силі, якщо вісь, перпендикулярна осі
симетрії, проходить і не через центр ваги перетину, тобто вісь симетрії
й кожна їй перпендикулярна утворять систему головних осей.
. Звичайно, говорячи про екстремальність головних моментів інерції,
мається на увазі лише їхнє порівняння з іншими моментами інерції,
обчисленими щодо осей, що проходять через ту ж точку перетину.
Таким чином, та обставина, що один з головних моментів інерції
максимальний, а інший мінімальний, можна розглядати як пояснення того,
що вони (і відповідні осі) називаються головними. Рівність же нулю
відцентрового моменту інерції щодо головних осей – зручна ознака для
їхнього знаходження. Деякі типи перетинів, наприклад, коло, квадрат,
правильний шестикутник і ін. (рис.2.11), мають незліченну безліч
головних центральних осей. Для цих перетинів будь-яка центральна вісь є
головною.
Рис.2.11. Перетини з незліченною безліччю головних центральних осей
Не приводячи доказу, укажемо, що у випадку, якщо два головних
центральних моменти інерції перетину рівні між собою, то в цього
перетину будь-яка центральна вісь головна й всі головні центральні
моменти інерції однакові.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
