Особливості статично невизначених систем і методи їхнього розрахунку. Канонічні рівняння методу сил
Особливості статично невизначених систем і методи їхнього розрахунку
Статично невизначеною називається така система, що не може бути розрахована за допомогою одних тільки рівнянь статики, тому що має зайві зв’язки. Для розрахунку таких систем складаються додаткові рівняння, що враховують деформації системи.
Обмовимося, що тут і далі поняття “розрахунок” має на увазі тільки побудову епюр внутрішніх силових факторів, що виникають в елементах системи, а не розрахунок на міцність, жорсткість і т.д.
Статично невизначені системи володіють рядом характерних рис:
- Статично невизначені конструкції є більш жорсткими, чим відповідні статично визначні, тому що мають додаткові зв’язки.
- У статично невизначених системах виникають менші внутрішні зусилля, що визначає їхню економічність у порівнянні зі статично визначними системами при однакових зовнішніх навантаженнях.
- Порушення зайвих зв’язків у статично невизначеній системі не завжди приводить до руйнування, у той час як утрата зв’язку в статично визначній системі робить її геометрично змінюваною.
- Для розрахунку статично невизначених систем необхідно попередньо задаватися геометричними характеристиками поперечних переріз елементів, тобто фактично їхньою формою і розмірами, тому що їхня зміна приводить до зміни зусиль у зв’язках і новому розподілі зусиль у всіх елементах системи.
- При розрахунку статично невизначених систем необхідно заздалегідь вибрати матеріал конструкції, тому що необхідно знати його модулі пружності.
- У статично невизначених системах температурний вплив, осідання опор, неточності виготовлення і монтажу викликають появу додаткових зусиль.
Основними методами розрахунку статично невизначених систем є:
1.Метод сил. Тут у якості невідомих розглядаються зусилля – сили і моменти.
2.Метод переміщень. Невідомими є деформаційні фактори – кути поворотів і лінійні зсуви.
3.Змішаний метод. Тут частина невідомих являє собою зусилля, а інша частина – переміщення.
- Комбінований метод. Використовується при розрахунку симетричних систем на несиметричні навантаження. Виявляється, що на симетричну складову заданого навантаження системи доцільно розраховувати методом переміщень, а на зворотно симетричну складову – методом сил.
Крім зазначених аналітичних методів при розрахунку особливо складних систем використовуються різні чисельні методи.
Канонічні рівняння методу сил
Для одержання додаткових рівнянь, про які говорилося в попередньому параграфі, потрібно, насамперед, перетворити задану n раз статично невизначену систему в статично визначну, видаливши з неї зайві зв’язки. Отримана статично визначена система називається основною. Відзначимо, що перетворення заданої системи в статично визначну не є обов’язковим. Іноді використовується модифікація методу сил, у якій основна система може бути статично невизначеною, однак виклад цього питання виходить за рамки цього посібника. Усунення яких-небудь зв’язків не змінює внутрішні зусилля і деформації системи, якщо до неї прикласти додаткові сили і моменти, що представляють собою реакції відкинутих зв’язків. Виходить, якщо до основної системи прикласти задане навантаження і реакції вилучених зв’язків, то основна і задана системи стануть еквівалентними.
У заданій системі по напрямках наявних жорстких зв’язків, у тому числі і тих зв’язках, що відкинуті при переході до основної системи, переміщень бути не може, тому й в основній системі переміщення по напрямках відкинутих зв’язків повинні дорівнювати нулеві. А для цього реакції відкинутих зв’язків повинні мати строго визначені значення.
Умова рівності нулеві переміщення по напрямку будь-якої i-го зв’язку з n відкинутих на підставі принципу незалежності дії сил має вигляд
| (6.1) |
де перший індекс означає напрямок переміщення і номер відкинутого зв’язку, а другий указує на причину, що викликала переміщення, тобто — це переміщення по напрямку i-го зв’язку, викликане реакцією k-го зв’язку; — переміщення по напрямку i-го зв’язку, викликане одночасною дією всього зовнішнього навантаження.
У методі сил реакцію k-го зв’язку прийнято позначати через Xk. З урахуванням цього позначення і у силу справедливості закону Гука переміщення можна представити у вигляді
| (6.2) |
де — одиничне (або питоме) переміщення по напрямку i-го зв’язку, викликане реакцією тобто реакцією, що збігається по напрямку з Xk, але рівне одиниці.
Підставляючи (6.2) у (6.1), одержимо
| (6.3) |
Фізичний зміст рівняння (6.3): переміщення в основній системі по напрямку i-го відкинутого зв’язку дорівнює нулеві.
Записуючи вирази, аналогічні (6.3), для всієї сукупності відкинутих зв’язків, одержимо систему канонічних рівнянь методу сил
| (6.4) |
Вид рівняння (6.4), тобто кількість доданків у кожному з них і їхнє загальне число, визначається тільки ступенем статичної невизначеності системи і не залежить від її конкретних особливостей.
Коефіцієнти системи канонічних рівнянь (6.4) визначаються методом Мора-Верещагіна шляхом перемножування відповідний епюр. Усі ці коефіцієнти, як вказувалося вище, являють собою переміщення; коефіцієнти, що знаходяться при невідомих — одиничні переміщення, а вільні члени — вантажні. Одиничні переміщення поділяються на головні, розташовані по головній діагоналі й однакові індекси, що мають ( ), і побічні ( ). Головні переміщення завжди позитивні, на відміну від побічних. Симетрично розташовані переміщення відповідно до теореми про взаємність переміщень рівні один одному, тобто
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
