Особливості розрахунку довгих циліндричних оболонок
Стосовно до розрахунку довгих оболонок вираз (13.108) доцільно
перетворити в такий спосіб. Використовуючи формули Эйлера
, (13.110)
замінимо показові функції на тригонометричні, тоді вираз (13.108) прийме
вигляд
— нові постійні (дійсні).
= 0; тоді
.
приймає дуже великі значення.
для області, розташованої біля другого краю оболонки.
, містимо, що оболонку можна розглядати як довгу, якщо
, (13.113)
або
. (13.113, а)
При дотриманні цієї умови погрішність рішення, отримана при застосуванні
спрощеного виразу (13.112), не перевищує 5%.
Для практичних розрахунків довгих циліндричних оболонок, однак, більш
зручно застосовувати формули, у яких постійні інтегрування виражені
через деякі початкові параметри.
(рис. 13.34).
Рис. 13.34. Напівнескінченна циліндрична оболонка
.
Запишемо граничні умови
;
.
По цих умовах знайдемо значення постійних.
:
;
— частне рішення диференціального рівняння із правою частиною,
обумовлене по формулі (13.109).
Значення функцій, що входять у вирази (13.114) – (13.118), дані в табл.
13.1.
Таблиця 13.1
Значення допоміжних функцій
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0 1,0000
0,9003
0,8024
0,7077
0,6174
0,5323
0,4530
0,3798
0,3131
0,2527
0,1988
0,1510
0,0158
0,0729
0,0419
0,0158
-0,0059
-0,0235
-0,0376
-0,0484
-0,0563
-0,0618
-0,0652
-0,0668
-0,0669
-0,0658
-0,0636
-0,0608
-0,0573
-0,0534
-0,0493
-0,0450
-0,0407
-0,0364
-0,0323
-0,0283
-0,0245
-0,0210
-0,0177
-0,0147
-0,0120
-0,0095
-0,0074
-0,0054
-0,0038
-0,0023
-0,0011
0,0001
0,0007
0,0014
0,0019
0,0023
0,0026
0,0028
0,0029
0,0029
0,0029
0,0028
0,0027
0,0026
0,0024
0,0022
0,0020
0,0018
0,0017
0,0015
0,0013
0,0011
0,0010
0,0008
0,0007 0,0000
0,0903
0,1627
0,2189
0,2610
0,2908
0,3099
0,3199
0,3223
0,3185
0,3096
0,2967
0,2807
0,2626
0,2430
0,2226
0,2018
0,1812
0,1610
0,1415
0,1230
0,1057
0,0895
0,0748
0,0613
0,0492
0,0383
0,0287
0,0204
0,0132
0,0071
0,0019
-0,0024
-0,0058
-0,0085
-0,0106
-0,0121
-0,0131
-0,0137
-0,0140
-0,0139
-0,0136
-0,0131
-0,0125
-0,0117
-0,0108
-0,0100
-0,0091
-0,0082
-0,0073
-0,0065
-0,0057
-0,0049
-0,0042
-0,0035
-0,0029
-0,0023
-0,0018
-0,0014
-0,0010
-0,0007
-0,0004
-0,0002
0,0001
0,0003
0,0004
0,0005
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006 1,000
0,9907
0,9651
0,9267
0,8784
0,8231
0,7628
0,6997
0,6354
0,5712
0,5083
0,4476
0,3899
0,3355
0,2849
0,2384
0,1959
0,1576
0,1234
0,0932
0,0667
0,0439
0,0244
0,0080
-0,0056
-0,0166
-0,0254
-0,0320
-0,0369
-0,0403
-0,0423
-0,0431
-0,0431
-0,0422
-0,0408
-0,0389
-0,0366
-0,0341
-0,0314
-0,0286
-0,0258
-0,0231
-0,0204
-0,0179
-0,0155
-0,0132
-0,0111
-0,0092
-0,0075
-0,0059
-0,0046
-0,0033
-0,0023
-0,0014
-0,0006
-0,0000
0,0005
0,0010
0,0013
0,0015
0,0017
0,0018
0,0019
0,0019
0,0018
0,0018
0,0017
0,0016
0,0015
0,0014
0,0013 1,000
0,8100
0,6398
0,4888
0,3564
0,2415
0,1431
0,0599
-0,0093
-0,0657
-0,1108
-0,1457
-0,1716
-0,1897
-0,2011
-0,2068
-0,2077
-0,2047
-0,1985
-0,1899
-0,1794
-0,1675
-0,1548
-0,1416
-0,1282
-0,1149
-0,1019
-0,0895
-0,0777
-0,0666
-0,0563
-0,0469
-0,0383
-0,0306
-0,0237
-0,0177
-0,0124
-0,0079
-0,0040
-0,0008
0,0019
0,0040
0,0057
0,0070
0,0079
0,0085
0,0089
0,0090
0,0089
0,0087
0,0084
0,0080
0,0075
0,0069
0,0064
0,0058
0,0052
0,0046
0,0041
0,0036
0,0031
0,0026
0,0022
0,0018
0,0015
0,0012
0,0009
0,0006
0,0004
0,0002
(рис. 13.35, а).
б
Рис. 13.35. До прикладу 13.8
Рішення.
Так як днище досить товсте, то край оболонки будемо вважати жорстко
затисненим. Запишемо граничні умови:
;
.
Осьове зусилля в цьому випадку
.
Відповідно до граничних умов, з урахуванням залежностей (13.114) і
(13.115) одержимо два рівняння:
;
,
вирішивши які, знайдемо
;
.
Далі, по формулах (13.114)–(13.118) визначаємо радіальне переміщення і
внутрішні силові фактори:
;
;
INCLUDEPICTURE
“http://distance.n?????????????????????????????????????????????????
, побудовані при наступних числових даних:
.
:
;
.
:
Напруження в небезпечній точці в затиснені:
;
INCLUDEPICTURE
“http://distance.net.ua/Ukraine/St??????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????
У перерізах циліндра, вилучених від закладення, згинальні моменти
звертаються в нуль, а зусилля розтягання приймає значення
Відповідні ним напруження
; INCLUDEPICTURE
“http://distance.net.ua/Ukraine/Stroimeh/lekciya/Razde??????????????????
?????????????
від затиснення згинальні напруження вже звертаються в нуль.
Приклад. Визначити напруження в циліндрі, розглянутому в попередньому
прикладі, вважаючи, що днище має товщину, набагато більшу порівнянно з
товщиною стінки циліндра.
Рішення.
за точку сполучення. Такий спосіб поділу дозволяє записати умови
сполучення в найбільш простій формі.
а б
Рис. 13.36. До прикладу 13.9
Осьову силу в циліндрі визначимо з умови рівноваги днища:
Інші два силових фактори в перетині повинні бути визначені з умов
спільності деформацій циліндра і днища:
(деформацією розтягання днища зневажаємо);
.
Напрямки відліків кутів, прийняті за позитивні, зазначені на рис. 13.10,
б.
Переміщення краю циліндра, відповідно до залежностей (13.114) і
(13.115),
;
.
Кут повороту нормалі на краю днища визначається по одному з методів,
розглянутих раніше. У цьому випадку
,
— згинальна жорсткість днища.
Рівняння спільності деформацій після підстановки в них значень
переміщень приймають вид
;
.
повинен входити в праву й ліву частини рівності обов’язково із
протилежними знаками.
Рішення системи двох отриманих рівнянь при числових значеннях
1/4
A
O
¦
?
?
1/4
3/4
A
A
O
O
Oe
Ue
TH
ae
ae
– --
– –
!
!
##
#
ph”†>‡>?>‰>?>‹>
??
jA
;
приводить до наступних результатів:
.
Помітимо, що при абсолютно жорсткому днищі
.
Отже, за рахунок піддатливості днища згинальний момент на краю циліндра
зростає в цьому випадку більш ніж в 10 разів. Це пояснюється тим, що
днище, прогинаючись, як би вивертає край циліндра.
Епюри згинальних моментів наведені на рис. 13.37.
Рис. 13.37. Епюри згинальних моментів (до прикладу 13.9)
Найбільші напруження в центрі днища
.
Найбільші напруження в циліндрі – біля краю
;
.
Розтягальні напруження, в циліндрі, вдалині від краю
;
.
Приклад 13.10. Довгий тонкостінний циліндр навантажений у деякому
перетині кільцевою силою Р (рис. 13.38, а).
Рішення.
До такої розрахункової схеми приводиться, зокрема, задача про деформації
труби з накладеним на неї бандажем або труби з кільцевим ребром або
діафрагмою.
Для правої половини труби, з огляду на симетрію навантаження, маємо
наступні граничні умови:
;
а б
Рис. 13.38. До прикладу 13.10
у початковому перетині
,
згідно з формулами (13.114) – (13.118):
;
;
;
.
, наведені на рис. 13.38, б.
При навантаженні циліндра двома або декількома кільцевими силами задача
найбільш просто вирішується методом накладення. Для цього треба
побудувати епюри окремо для кожної сили, а потім їх підсумувати.
(рис. 13.39, а).
Рис. 13.39 До прикладу 13.11
Рішення.
Ця задача також найбільш просто вирішується методом накладення. Задане
навантаження можна представити у вигляді суми двох навантажень,
показаних на рис. 13.39, б і в (обидва ці навантаження, по суті,
однакові).
Одержимо рішення для навантаження, зображеного на рис. 13.39, в. Початок
координат сполучимо з перетином, що відповідає стрибку тиска. На
підставі зворотної симетрії навантаження
;
.
, то на підставі залежностей (13.109) і (13.114)
звідки
.
для навантаження, зображеного на рис. 13.39, в, мають вигляд
;
;
.
відрізняються тільки знаком.
для навантажень, зображених на рис.13.39, б і в та склавши їх,
одержимо епюри для заданого навантаження.
На рис.13.40 наведена побудова, що відповідає наступним даним:
.
Рис. 13.40. Епюри при іншому наборі вихідних даних (наприклад 13.11)
Значення функцій, що входять у формули, узяті по табл. 13.1.
, найбільший згинальний момент
.
Ці значення цікаво зрівняти зі значеннями, отриманими в попередньому
прикладі для випадку навантаження зосередженим кільцевим навантаженням
при
.
Порівняння показує, що при дії розподіленого навантаження величина
прогину приблизно в 1,5 рази, а величина максимального згинального
моменту приблизно в 5 разів менше, ніж при зосередженому навантаженні.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
